第 3 讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1设f(x)为定义在 R 上的奇函数当x0 时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于( )A3 B1 C1 D3解析 由f(0)f(0)，即f(0)0.则b1，f(x)2x2x1，f(1)f(1)3.答案 D2已知定义在 R 上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 ( )A1 B0 C1 D2解析 (构造法)构造函数f(x)sin x，则有f(x2) 2sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一个满足条 2x2 2 2件的函数，所以f(6)sin 30，故选 B.答案 B3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x3,5时，f(x)2|x4|，则下列不等式一定成立的是 ( )Aff Bf(sin 1)f(sin 2)(sin 6) (cos 6)解析 当 x1,1时，x43,5，由 f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，显然当 x1,0时，f(x)为增函数；当 x0,1时，f(x)为减函数，cos ，sin ，又 fff，所以 ff.2312233212(12)(12)(32)(cos 23) (sin 23)答案 A4已知函数 f(x)Error!则该函数是 ( )A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减解析 当 x0 时，f(x)2x1f(x)；当 x0 时是单调函数，则满足f(2x)f的所(x1 x4)有x之和为_解析 f(x)是偶函数，f(2x)f，(x1 x4)f(|2x|)f，(|x1 x4|)又f(x)在(0，)上为单调函数，|2x|，|x1 x4|即 2x或 2x，x1 x4x1 x4整理得 2x27x10 或 2x29x10，设方程 2x27x10 的两根为x1，x2，方程 2x29x10 的两根为x3，x4.则(x1x2)(x3x4) 8.7 2(9 2)答案 8 三、解答题11已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意 x，y，f(x)都满足 f(xy)yf(x)xf(y)(1)求 f(1)，f(1)的值；(2)判断函数 f(x)的奇偶性解 (1)因为对定义域内任意 x，y，f(x)满足 f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得 f(1)0，令 xy1，得 f(1)0.(2)令 y1，有 f(x)f(x)xf(1)，代入 f(1)0 得 f(x)f(x)，所以 f(x)是(，)上的奇函数12已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0 时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明 令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)解 任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.13.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1 对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)证明 函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1 对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以 4 为周期的周期函数(2) 当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1 对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3) f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以 4 为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.14已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若 f(x)为奇函数，且当 0x1 时，f(x) x，求使 f(x) 在0,2 014上1212的所有 x 的个数(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)解 当 0x1 时，f(x) x，12设1x0，则 0x1，f(x) (x) x.1212f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x) x，即 f(x) x.1212故 f(x) x(1x1)12又设 1x3，则1x21，f(x2) (x2)12又f(x)是以 4 为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x)，f(x) (x2)，12f(x) (x2)(1x3)12f(x)Error!由 f(x) ，解得 x1.12f(x)是以 4 为周期的周期函数，f(x) 的所有 x4n1(nZ)12令 04n12 014，则 n.142 0154又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有 503 个 x 使 f(x) .12