课时作业课时作业 29 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换时间：时间：45 分钟分钟 分值：分值：100 分分一、选择题(每小题 6 分，共计 36 分)1下列各式中，值为 的是( )12Asin15cos15 Bcos2sin266C. D.tan301tan2301cos602解析：A 中，原式 sin30 ；B 中，原式cos ；C 中，1214312原式 tan60；D 中，原式cos30，故选122tan301tan230123232B.答案：B2设 a cos6sin6，b2sin13cos13，c，12321cos502则有( )Acba BabcCacb Dbca解析：由题意可知，asin24，bsin26，csin25，而ysinx 在0，90上为增函数，acb，故选 C.答案：C3sin( ) ，则 cos(2)( )61323A B7913C. D.1379解析：cos(2)2cos2( )1.233( )( ) ，632cos( )sin( ) .3613cos(2)2( )21 .231379故选 A.答案：A4设函数 f(x)2cos2xsin2xa(a 为实常数)在区间0， 上32的最小值为4，那么 的值等于( )A4 B6C4 D3解析：f(x)2cos2xsin2xa31cos2xsin2xa32sin(2x )a1.6当 x0， 时，2x ，26676f(x)min2( )a14.a4.12答案：C5函数 ycos2(x)sin2(x)1 是( )1212A周期是 2 的奇函数 B周期是 的偶函数C周期是 的奇函数 D周期是 2 的偶函数解析：ycos2(x)sin2(x)1121211cos2x621cos2x62cos2x6cos2x62cos2xcos6sin2xsin6cos2xcos6sin2xsin62.sin2x2T，且 sin(2x)sin2x.22故选 C.答案：C6若 sin()coscos()sin0，则 sin(2)sin(2)等于( )A1 B1C0 D1解析：sin()coscos()sinsin()sin0，sin(2)sin(2)2sincos20.答案：C二、填空题(每小题 8 分，共计 24 分)7(sin cos )22sin2( )的值等于_2242解析：原式1sin21cos221sin1sin2.答案：28已知：cos( )，则 sin2( )cos()的值为633656_解析：sin2( )1cos2( )661()2 ，3323cos()cos( )566cos( )，633sin2( )cos() .65623332 33答案：2 339设 是第二象限角，且 cos ，则 是第21cos222_象限角解析：2k 2k(kZ)，2k k (kZ)422 为第一、三象限角，2又1cos221sin22cos ，cos222cos 0，即 为第三象限角22答案：三三、解答题(共计 40 分，其中 10 题 10 分，11、12 题各 15 分)10已知 tan22，22，求.22cos22sin12sin4解：2cos22sin12sin4cossincossin，1tan1tantan22，2.22tan1tan22tan2tan0.22tan2tan10.22tan或 tan.22222， ，tan0.2tan.22原式32.122122211已知函数 f(x).sinxcosxsin2xsinx(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间解：(1)由 sinx0 得 xk(kZ)，故 f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为 f(x)2cosx(sinxcosx)sinxcosxsin2xsinxsin2xcos2x1sin(2x )1，24所以 f(x)的最小正周期为 T.22(2)函数 ysinx 的单调递增区间为2k ，2k (kZ)22由 2k 2x 2k ，xk(kZ)，242得 k xk，xk(kZ)838所以 f(x)的单调递增区间为k ，k)和(k，k(kZ)83812某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数(1)sin213cos217sin13cos17(2)sin215cos215sin15cos15(3)sin218cos212sin18cos12(4)sin2(18)cos248sin2(18)cos248(5)sin2(25)cos255sin2(25)cos255试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。解：解法一：选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151 sin30121 .1434三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30) .34证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2 cos2sincos sin2sincos sin23432143212 sin2 cos2 .343434解法二：同解法一三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30) .34证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)1cos221cos6022 cos2 (cos60cos2sin60sin2)12121212sincos sin23212 cos2 cos2sin2sin2 (1cos2)121212143434141 cos2 cos2 .14141434