第十五章 压杆稳定问题,基本内容：,（1）压杆稳定的基本概念；,（2）压杆的临界压力计算；,（3）压杆的稳定性校核及提高压杆稳定性措施；,15. 1 稳定性的基本概念,一、稳定性概念,1. 小球所在平衡位置的稳定性：,情形(a): 小球所在的平衡位置是稳定的；,情形(b): 小球所在平衡位置是不稳定的。,2. 弹性细长受压直杆的稳定性：,钢尺：一端固定，一端自由。,（1）当轴向力 P 较小时，其平衡形态为直线。,此时给一微小的横向力，使其产生微小的横向弯曲变形，然后将其横向力撤去；,现象：,杆仍可回到原直线形式的平衡状态。,（2）当轴向力 P 较大（PPcr）时，对直线形式平衡状态加一微小的横向力，使其产生微小的横向弯曲变形，然后将其横向力撤去；,现象：,杆不能回到原直线形式的平衡状态。,此时称：原直线形式的平衡状态是稳定的。,此时称：原直线形式的平衡状态是不稳定的。,且，杆由于被压弯而失去承载能力。,钢尺：一端固定，一端自由。,3. 稳定性概念,杆件原直线形式平衡状态由稳定变为不稳定的现象, 称为失稳（丧失稳定），其中间状态称临界状态,对应于临界状态 轴向压力的临界值 称为临界压力。,（1） 杆件由于失稳而丧失承载能力，一般不是因为杆的强度不够。,如，A3钢，横截面为:15mm2，E=200GPa，杆长为： l =320mm，其临界压力为 Pcr=200N，此时,说明：,（2）可见轴向受压细杆承载能力，还取决于其稳定性如何!,（3） 轴向受压细杆稳定性与杆件长度和截面尺寸、支承方式有关。,二、其它结构的稳定性,薄壁圆筒受外压（或抽真空）,板条、工字钢在最大刚度平面内的侧向弯曲与扭转,薄壁圆筒受轴向压力,15. 2 临界压力的欧拉公式,一、 两端铰支细长压杆临界压力公式,设两端为球铰链，EI 、l 已知,取距原点为 x 的任意截面，其上轴力 P 和弯矩M，且恒有,(a),将其代入挠曲线近似微分方程：,(b),引入记号：,(15.2),方程（b）变为：,(15.1),上述方程通解为：,(15.3),A、B为积分常数，可由边界条件确定。,杆件的边界条件为：,由于B=0，因而A0，只有,由此可求得：,由此可解得,将其代入式（15.2）,(15.2),(e),使杆件保持微弯曲平衡的压力，有无穷多值；,当 n=0 时，P=0，是方程的平凡解，应舍去；,当 n=1 时，P为临界压力的最小值Pcr：,(15.6),两端铰支细长压杆的临界压力Pcr的计算公式, 两端铰支压杆的欧拉公式,说明：,(1),Pcr与 EI 成正比；,即：EI 值大，则Pcr 也大，表明该压不易失稳；,(2),Pcr与 杆长 l 成反比；,即：l 大，则Pcr 小，表明该压易失稳；,(3),式中，I = Imin,表明失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面 内；,(4),Pcr与 杆件的支承条件有关。,例,图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为A3钢，E=206GP，试按欧拉公式计算其临界压力。,解,由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故必在最小刚度平面内失稳。,由截面形状可知：,代入欧拉公式，有,1. 两端铰支压杆,失稳形态：半个正弦波,2. 一端固定、一端自由压杆,失稳形态：1/4个正弦波,3. 两端固定压杆,C、D点为反弯点 （即：M=0）,二、两端非铰支细长压杆的临界压力公式（可由两端铰支杆同样的方法推导，可参考孙训方编材料力学）,4. 一端固定、一端铰支压杆,C点为反弯点（即：M=0）,二、欧拉临界压力公式的普遍形式,为把压杆折算成两端铰支压杆的长度, 相当长度, 长度系（因）数，与约束性质有关。,两端铰支：,一端固定另一端自由：,两端固定：,一端固定另一端铰支：,(15.3),例,图示矩形截面压杆AB，其长度 l = 2.4m，截面宽度b=40mm，高度 h =60mm，在 x-y 平面内弯曲时如图(a)，两端可简化铰支；在 x-z 平面内弯曲时如图(b)，丙端可视为固定。压杆的材料为A3钢，弹性模量 E =206 MPa，试求压杆的临界压力。,解,计算x-y 平面内失稳时的临界压力,计算x-z 平面内失稳时的临界压力,比较两者，得压杆的临界压力为：,长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？,例,解,圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。,例,解,情形（1）,情形（2）,为原压杆的,图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则(A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能断定P1和P2的关系,例,解,(a),(b),对图（a），,节点B：,由平面汇交力系的平衡条件得,节点A：,（受拉）,（受压）,节点D：,（受拉）, 桁架内力分析的节点法,先分析各杆的内力,(a),(b),对图（a）中受压杆件作稳定性分析,杆AD：,（受压）,对图（b）,类似于图（a）的分析，可得：,杆AB、BD受压,由欧拉公式，得,比较得,15. 3 柔度的概念 三种不同压杆的判断,一、欧拉临界压力公式的适用范围,(15.8),将上式两边同除以压杆横截面面积A，有, 压杆的临界应力。,考虑到：,i 截面的惯性半径，上式成为：,引入记号：,(15.10), 称为压杆的柔度或细长比，无量纲量,(15.12), 欧拉公式的另一种表达形式,1. 临界应力、柔度或细长比,2. 欧拉公式的适用范围,推导欧拉公式时，用了挠曲线近似微分方程，材料需服从Hooke定律，即cr P（比例极限）,或：,记：,欧拉公式的适用范围为：,(15.15), 压杆的柔度或细长比，无量纲。,欧拉公式的适用范围为：,满足式上式条件的杆，称大柔度杆或细长杆。,对于量p ，仅与材料的性质有关，如，Q235钢：,二、临界应力的经验公式,1. 直线公式,(15.13),其中：a 、b 为与材料有关的常数。,如表15.2 所示。,适用范围：, 塑性材料, 脆性材料,即,或,记：,或,式（11.13）的适用范围：,(15.16),满足上式的压杆，称中柔度杆或中粗杆。,若：, 则称小柔度杆或短粗杆。,此时的临界应力：, 塑性材料, 脆性材料,此时破坏方式实际上为一般强度失效。,2. 抛物线公式,临界应力cr 随柔度的变化曲线,其适用范围的讨论同直线公式（15.13）。,三、临界应力总图, 大柔度杆或细长杆, 中柔度杆或中粗杆, 小柔度杆或短粗杆,大柔度杆,中柔度杆,小柔度杆,其中：a1 、b1 为与材料有关的常数。, 临界应力总图,15. 4 压杆稳定性条件与设计,1. 压杆的临界压力计算,对大柔度杆：,(15.8),对中柔度杆：,(15.13),2. 压杆的稳定性条件,设压杆的稳定安全系数为: nst,则压杆的许可压力为:,压杆的稳定性条件可表示为:,式中，P 为压杆上的实际工作压力。,或,若记压杆的临界压力P cr 与实际工作压力 P 之比为压杆工作安全系数: n,则稳定性条件为：,(15.18),说明：,（1）稳定安全系数 nst 一般比强度安全系数ns（或nb）高；,（2）稳定性计算的三类问题：,（a）稳定性校核；,（b）基于稳定性的截面设计；,（c）基于稳定性的承载能力计算。,3. 压杆的稳定性计算,例：,空气压缩机的活塞杆由45#钢制成，可视为两端铰支压杆。s=350MPa ，P=280MPa ，E =210MPa。长度 l = 703mm，直径 d = 45mm。最大压力 Pmax= 41.6kN。规定稳定安全系数nst = 810。试校核其稳定性。,解：,（1）确定压杆为大柔度杆还是中柔度杆？,由查表得45#钢：,比较得：,该压杆为中柔度杆,（2）选用适当公式计算临界压力（应力）,活塞杆的工作安全系数：,（3）计算压杆的工作安全系数并与稳定安全系数比较,活塞杆满足稳定性要求。,图示结构，、两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的角（设0/2）。,例：,解：,求杆AB、BC的轴力；,B,杆AB、BC的临界压力：,要使 P 获得最大，须使 NBA、NBC 都达到其临界压力：,（1）,（2）,将式（2）除以式（1），有,例：,图示托架，AB 杆为圆管，外径 D=50mm，内径d=40mm，两端为球铰，材料为A3钢，E=206MPa，1=100，若规定稳定安全系数nst=3，试确定托架的许可载荷P。,解：,分析杆AB 的受力,杆AB 的惯性半径：,杆AB 的长度：,杆AB 的柔度：,杆AB 为大柔度杆。,杆AB 的稳定性条件：,本章小结,一、基本概念,失稳（屈曲）：,轴向受压杆件，其原有（直线）平衡形式由稳定变为不稳定的现象。, 具有受压杆件结构的一种破坏方式,临界压力Pcr（应力cr ）：,使杆件原有（直线）平衡形式为稳定的最大轴向压力（应力）；,或：使受压杆件维持微小弯曲平衡的最小轴向压力（应力）。,柔度（长细比）：,相当长度系数：, 与压杆两端的约束性质有关。,两端铰支：,一端固定另一端自由：,两端固定：,一端固定另一端铰支：,二、临界压力（应力）的计算,欧拉公式,适用范围：,其中：, 大柔度杆或细长杆,直线公式：,适用范围：,其中：, 中柔度杆或中粗杆,适用范围：, 小柔度杆或短粗杆, 欧拉临界应力总图,三、稳定性计算,稳定性条件：,或,其中：, 稳定安全系数,稳定性计算的三类问题：,（1）稳定性校核；,（2）基于稳定性的截面设计；,（3）基于稳定性的承载能力计算。,稳定性计算的步骤：,（1）分析结构的受力；,（2）计算压杆的柔度（长细比），确定压杆的性质（是大柔度杆？还是中柔度杆？）；,（3）计算压杆的临界压力（应力）,（4）将压杆实际工作压力（应力）与临界压力（应力）比较。,15-3、11-4、15-9、15-10、15-11,第十五次作业：,