,3.3 垂径定理（1）,创设情境,引入新课,复习提问:,（）正三角形是轴对称性图形吗？,（）什么是轴对称图形,（）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。,有几条对称轴？,是,在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。,强调：,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,X,（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.,（2）圆的对称轴有无数条.,合作交流,探究新知,一自主探究,结论：,.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？,二 合作学习,.请你用命题的形式表述你的结论.,垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧,点A与点B重合，弧AC和弧BC重合， 弧AD和弧BD重合,.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明,解,已知：如图，是O的直径，是O的一 条弦，AB，且交于点,求证：,证明：连结，.,如果把O沿着直径对折， 那么被分成的两个半圆互 相重合.,OEA=OEB=Rt，,线段EA与线段EB重合.,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,思考：你能利用等腰 三角形的性质，说明 OC平分AB吗？,.圆的性质（垂径定理）,垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,垂径定理的几何语言叙述:,结论2：,E,分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.,三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧）,.直径垂直于弦,直径平分弦所对的弧,直径平分弦,2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点.,CD为直径，CDAB（或OCAB）,垂径定理的几何语言叙述:,（条件）,（结论）,垂径定理的几个基本图形,作法：, 连结AB., 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点,C,D,A,B,E,做一做：,.如图，过已知O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点,BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.,例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,D,C,10,8,8,解:作OCAB于C,由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.516=8.由勾股定理得:,圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.,例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.,想一想:排水管中水最深多少?,答:截面圆心O到水面的距离为6.,题后小结：,1作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；,2 半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？,答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长.,C,A,B,O,D,.,.在直径为厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是厘米，求油槽中油的最大深度,C,D,解：,因为，,O,所以油槽中油的最大深度（厘米）,连结,做一做,3、已知：如图，O 中， AB为 弦，OC AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径.,3,3,1,做一做,.同心圆中，大圆的弦与小圆交于， 两点，判断线段与的大小关系，并说明 理由,与相等。理由如下：,解：,过点作AB于点，,则，,所以，,即,O,C,D,同心圆是指两个 圆的圆心相同,做一做,做一做,适度拓展,、已知O的半径为10cm，点P是O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）,(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm,D,10,8,6,2如图，O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5,适度拓展,师生共同总结：,本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理,2垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明,3解题的主要方法：,（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；,课 堂 小 结,