第一节 变化率与导数、导数的计算,总纲目录,教材研读,1.导数的概念,考点突破,2.基本初等函数的导数公式,考点二 导数的几何意义,考点一 导数的计算,教材研读,1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= = .,(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) .,(3)函数f(x)的导函数 称函数f (x)= 为f(x)的导函数.,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,4.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= yuux ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的 乘积.,1.下列求导运算正确的是 ( ) A. =1+ B.(log2x)= C.(3x) =3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x,答案 B =x+ =1- ;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cosx)= 2xcos x-x2sin x.,B,2.曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线方程为 ( ) A.3x+y+3=0 B.3x-y+3=0 C.3x-y=0 D.3x-y-3=0,答案 B y=x3+1,y=3x2,曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线的斜率 为y|x=-1=3,切线方程为3x-y+3=0.,B,3.曲线y=ax2-ax+1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,则a= - .,答案 -,解析 y=ax2-ax+1,y=2ax-a,y|x=0=-a.又曲线y=ax2-ax+1(a0)在 点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,(-a)(-2)=-1,即a=- .,4.若曲线f(x)=xln x在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 (e,e) .,解析 设切点P(m,n). f(x)=xln x的导数为f (x)=1+ln x,在点P处的切线的 斜率为1+ln m=2,解得m=e,可得n=mln m=eln e=e,点P的坐标为(e,e).,答案 (e,e),5.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 3 .,答案 3,解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.,考点一 导数的计算 典例1 分别求下列函数的导数: (1)y=excos x; (2)y=x ; (3)y=x-sin cos ; (4)y=ln .,考点突破,解析 (1)y=(ex)cos x+ex(cos x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x). (2)y=x3+1+ ,y=3x2- . (3)y=x-sin cos =x- sin x, y= =1- cos x. (4)y=ln = ln(1+x2), y= (1+x2)= 2x= .,方法技巧,1.求函数导数的一般原则如下:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式 形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂 分式,先将分式化简,再求导.,2.一般地,对于对复合函数的求导,应先考虑其由哪两个函数复合而成, 即转化为y=f(g(x),再运用复合函数求导法则,其中确定u=g(x)的原则是 可直接求导,且利于计算.,1-1 分别求下列函数的导数: (1)y= + ; (2)y=sin2 ; (3)y= .,解析 (1)y= + = , y= = . (2)y=sin2 = (1-cos x)= - cos x, y=- (cos x)=- (-sin x)= sin x. (3)y= = = = = .,考点二 导数的几何意义 命题方向一 求切线方程,典例2 (1)曲线f(x)= 在点(1, f(1)处的切线方程是 ( ) A.x=1 B.y= C.x+y=1 D.x-y=1 (2)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切 线方程是 y=2x .,B,答案 (1)B (2)y=2x,解析 (1)f(x)= 的导数为f (x)= ,在点(1, f(1)处的切线的斜 率为f (1)=0,切点为 ,所以在点(1, f(1)处的切线方程为y= ,故选B. (2)当x0时,-x0),点(1,2)在 曲线y=f(x)上,易知 f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2= f (1)(x-1),即y=2x.,命题方向二 求切点坐标,典例3 设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线 垂直,则P的坐标为 (1,1) .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- . 易知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00, x0=1.又点P在曲线y= (x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).,命题方向三 求参数的值(范围),典例4 (1)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=ln x+ax,若曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .,D,解析 (1)y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D. (2)f (x)= +a(x0).曲线y=f(x)存在与直线2x-y=0平行的切线,方程 +a=2在区间(0,+)上有解,即a=2- 在区间(0,+)上有解,a0)和g(x)=ln x的图象有公共点P,且在点P处 的切线相同. (1)若点P的坐标为 ,求a,b的值; (2)若a=b,求切点P的坐标.,解析 f (x)=2ax-b,g(x)= . (1)由题意得f = - =-1, 且f =g ,即 -b=e, 由得a=2e2,b=3e. (2)若a=b,则f (x)=2ax-a, 设切点P的坐标为(s,t),其中s0, 由题意得as2-as=ln s, 2as-a= , 由得a= ,其中s ,代入得 =ln s. 因为a= 0,且s0,所以s . 设函数F(x)= -ln x,x , 则F(x)= . 令F(x)=0,解得x=1或x= (舍). 当x变化时,F(x)与F(x)的变化情况如下表所示:,所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0, 所以方程有且仅有一个解s=1. 于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).,