, 多元微积分学,大 学 数 学（二）,第一讲 常数项级数的概念和性质,本章学习要求：,一. 无穷级数的概念,二. 级数收敛的必要条件,三. 无穷级数的基本性质,第九章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念和性质,一.无穷级数的概念,1.无穷级数的定义,设有数列 un: u1 , u2 , , un , ,为一个无穷级数, 简称为级数.,称 un 为级数的一般项或通项.,则称表达式,下列各式均为常数项级数,下列各式均为函数项级数,2. 级数的敛散性定义,称为级数的部分和.,S 称为级数的和：,若,不存在 ( 包括为 ) ,发散.,则称级数,等比级数的部分和为：,此时等比级数收敛, 其和为：,解,a, n为奇数,0, n为偶数,当公比 | r | 1 时, 等比级数收敛；,当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.,综上所述,讨论级数,的敛散性.,解,而,故,即该级数收敛, 其和为,二. 级数收敛的必要条件,定理,证,设,由于,故该级数发散.,解,证明调和级数是发散的:,调和级数的部分和有：,证,由数学归纳法, 得,k = 0, 1, 2, ,而,三.无穷级数的基本性质,有相同的敛散性, 且,1. 性质 1,证,的部分和为,的部分和为,故,且有,2. 性质 2,证,的部分和为：,故,因为等比级数,所以级数,问 题,是发散的,问 题,不一定,但对收敛级数来说, 它的和将改变.,在一个级数的前面加上或者去掉,有限项后, 所得到的新的级数与原级,数的敛散性相同.,3. 性质 3,证,级数仍然收敛, 且其和不变.,对收敛的级数加括号后所得到的新,在级数运算中, 不能随意加上或去掉括号, 因为这样做可能改变级数的敛散性.,4. 性质 4,问 题,不一定,问 题,不一定,问 题,原级数也发散,