第五章 测量误差的基本知识,5.1 测量误差及其分类5.2 衡量观测值精度的标准5.3 误差传播定律5.4 等精度直接观测平差,通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。,学习误差理论的目的是： 、采用合理的观测方法和数据处理方法求取观测值的最或然值； 、采用恰当的数学方法对观测值的质量（精度）作出数值评价。,最或然值的概念：采用合理的平差方法所求得的最接近真值的近似值。,一、观测误差、真值 ：任一被观测量客观存在的量的大小。例如：三角形的内角和的真值为180。 2、观测值：在一定的观测条件下，对某一观测量进 行观测，每次观测所得的数值，叫做观测值。例如：水准测量时的水准标尺中丝读数a、b；,3、观测误差： 观测值L与真值X的差值。 = L X,5.1 测量误差及其分类,二、观测误差的来源,1. 仪器误差,2. 观测误差,3. 外界条件的影响,观测条件,以上三个方面通常称为观测条件。观测条件的好坏决定了观测质量的高低，观测条件相同所进行的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。,三、 观测误差的分类,1、系统误差的定义 在一定的观测条件下，所获得的观测列中，若其误差数值的大小、符号或保持不变，或按一定的规律变化，则把这样的一类误差叫做系统误差。,（一）系统误差,例：设用一把l0=30m，l实=30.003m的钢尺进行距离丈量，那么每量一整尺段就会产生3mm的误差，这种误差的大小、符号是固定的，误差的大小与所量距离成正比。,、系统误差产生的原因,仪器检校残差。观测者的错误操作习惯 例如：习惯估读过大；照准目标时，习惯照准目 标的边缘等。外界条件的影响 例如：大气折光差、地球弯曲差等。,、系统误差的作用,系统误差对测量成果具有累积影响的作用。所以，测量工作中，必须尽最大可能采取措施消除或减弱它的影响。,、系统误差消除的办法,、针对仪器误差，应采用一定的观测程序,例如：、水平角观测一测回，可消除如下误差： 横轴差、视轴差、水平度盘偏心差、照准部偏心差。 、垂直角观测一测回，可消除竖盘指标差。、水准测量中，将水准仪安置在前、后两立尺点连线的垂直平分线上可消除水准仪的角误差。、水准测量中，在相邻两个固定点间进行偶数站观测，可消除一对水准标尺零点差。,、针对大气折光影响，应选择有利的观测时间并加快每测站的观测速度,例如：、水平角观测：上午 8h10h，下午 2h4h。、垂直角观测：中午观测，且应避免视线穿越 冷、热源。,、针对观测者，应矫正其不良作业习惯，提高观测者的技术素质，从而，使其掌握正确的操作方法，提高作业速度。,、加改正数,1、偶然误差的定义：在相同的观测条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即单个误差的大小、符号都没有规律，则把这样的误差叫做偶然误差。,（二）偶然误差,、偶然误差产生的原因,产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。,粗差：在测量工作中，除了误差外，还可能发生错误，例如，测错、记错、算错等。错误的发生是由于观测者在工作中粗心大意造成的，所以称粗差。凡含有粗差的观测值应舍去不用，并需重测，为此应加强责任心，认真操作。,发现粗差的有效方法：进行必要的重复观测，通过多余观测，采用必要而又严密的检核、验算等。,粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位。,四、偶然误差的特性,从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180。,真误差,观测值与理论值之差,3、绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（正负均等性）,4、当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零 。即：,1、在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（集中性）,（抵偿性）,用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间d的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为频率直方图。,可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间d，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该曲线称为误差分布曲线。,其函数式为：,(5-4),即正态分布曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标的函数。,式中e为自然对数的底（e2.7183；为观测值的标准差（将在下节讨论），其平方称为方差,对偶然误差分布曲线形状的影响,愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。,精度：反映误差分布密集或离散的程度,为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前面的方法，绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精度的指标。,5.2 衡量观测值精度的标准,在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差的值也较小；反之，如果该组误差值偏大，即误差分布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准差的值。,标准差公式：,求值要求观测个数n，但这实际是不可能的。在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：m称为中误差。这里的方括号表示总和，i（i=l，2n）为一组同精度观测误差。,标准差跟中误差m的不同，在于观测个数n上；标准差表征了一组同精度观测在n时误差分布的扩散特性，即理论上的观测精度指标，而中误差则是一组同精度观测在n为有限个数时求得的观测精度指标。所以中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着n的增大，m将趋近于。,标准差公式：,中误差公式为：,一、 中误差,定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：,式中,式中：,例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。,解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。,说明：中误差越小，观测精度越高,二、相对误差,相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:,一般情况 :角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。,对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精度。例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是全10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？不能！而是前者优于后者。为此，利用中误差与观测值的比值，即miLi来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1N。上例为即前者的精度比后者高。,定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。,三、容许误差（极限误差）,即容=2m 或容=3m 。,极限误差的作用：区别误差和错误的界限。,由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准差或中误差是衡量观测精度的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。,上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在范围以外的个数约占误差总数的32%；在2范围以外的个数约占4.5%；在3范围以外的个数只占0.3%。,绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此可以认为3是真误差实际出现的极限，即3是极限误差： 极限=3,测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即容=22m 或 容=33m,前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。,误差传播：因观测值包含误差使得观测值的函数也产生误差的现象 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。,5.3 误差传播定律,一、倍数函数,（6-7）,设有函数： Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为x和z则 若对x 共观测了n次，则 将上式平方，得 求和，并除以n，得,三、 线性函数的误差传播定律,设线性函数为：,式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的观测值的中误差为 。,设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得,四、 一般函数,式中： 是函数F对 的偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：,误差传播定律的一般形式,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差,1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。,求观测值函数中误差的步骤：,五、 运用误差传播定律的步骤,3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。,误差传播定的几个主要公式：,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真 值）L 为：,一、最或是值,L,5.4 等精度直接观测平差,设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，n） 将上式相加得或 故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时，即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。,因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有,二、 算术平均值中误差mL,由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 倍。,故,三、精度评定,第一公式,第二公式（白塞尔公式）,条件：观测值真值x已知,条件：观测值真值x未知，算术平均值L已知,其中 观测值改正数，,证明：,（i=1，2，3，n）,两式相加，有,即,解：,（i=1，2，3，n）,设 则,