5.4 平面向量应用举例,第五章 平面向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：,知识梳理,ab,x1y2x2y10,ab0,x1x2y1y20,(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：,2.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体. 3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.,1.若G是ABC的重心， 2.若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量 (B，A)与直线l平行.,【知识拓展】,几何画板展示,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),基础自测,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,ABC为直角三角形.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,等腰,ABC为等腰三角形.,题组三 易错自纠 4.在ABC中，已知 且ABC的一个内角为直 角，则实数k的值为_.,答案,1,2,3,4,5,6,解析,1,2,3,4,5,6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,5,6.抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2y26x4y30只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若 4，则点A的坐标是_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,(1,2)或(1，2),曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216，,题型分类 深度剖析,典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若 1，则AB_.,解析,答案,题型一 向量在平面几何中的应用,师生共研,解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，,(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足 (0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心,解析,答案,所以点P的轨迹必过ABC的重心.,内心,答案,解析,所以点P的轨迹必过ABC的内心.,向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.,A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形,答案,解析,(2)(2017长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，,答案,解析,解析 取HF的中点O，,典例 (1)已知向量 且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.,题型二 向量在解析几何中的应用,师生共研,答案,解析,2xy30,(4k)(k5)670， 解得k2或k11. 由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.,(2)若点O和点F分别为椭圆 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为_.,答案,6,解析,解析 由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)，,向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.,跟踪训练 (1)(2017衡阳联考)已知对任意平面向量 (x，y)，把 绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 (xcos ysin ，xsin ycos )叫作把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线x2y22，则原来曲线C的方程是 A.xy1 B.xy1 C.y2x22 D.y2x21,答案,解析,点P在曲线x2y22上，,整理得xy1.故选A.,答案,解析,15,命题点1 向量在不等式中的应用,题型三 向量的其他应用,多维探究,A.1,0 B.0,1 C.1,3 D.1,4,答案,解析,解析 作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，,命题点2 向量在解三角形中的应用,答案,解析,ABC最小角为角A，,利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.,跟踪训练 (1)函数ysin(x)在一个周期内的图像如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且 0，则函数f(x)的最小正周期是_.,3,答案,解析,解得xN2，,答案,解析,审题路线图,三审图形抓特点,审题路线图,答案,解析,审题路线图,CD在x轴上,课时作业,1.(2018株州模拟)在ABC中， 则ABC的形状一定是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故ABC一定是直角三角形.,2.已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足 x2，则点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,y2x6，即点P的轨迹是抛物线.,3.已知向量m(1，cos )，n(sin ，2)，且mn，则sin 26cos2的值为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可得mnsin 2cos 0，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知F1，F2分别为椭圆C： 1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则 的最大值、最小值分别为 A.9,7 B.8,7 C.9,8 D.17,8,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,且直线axy0过坐标原点，,即xAxB0，yAyB0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得m2，n0，所以mn2，故选B.,7.在菱形ABCD中，若AC4，则 _.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设CAB，ABBCa， 由余弦定理得a216a28acos ，acos 2，,8,8.已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根， 则向量a与b的夹角是_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知可得|a|24ab0，,9.已知O为ABC内一点，且 则AOC与ABC的面积之比是_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12,解析 如图所示，取AC的中点D，,O为BD的中点， 面积比为高之比.,10.如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任 意一点，若P为半径OC上的动点，则 的最小值为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 圆心O是直径AB的中点，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设M(x，y)为所求轨迹上任一点， 设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,b0，y0，,12.(2018酒泉质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角B的大小；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据正弦定理得,因为A(0，)，所以sin A0.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.动点P的轨迹一定通过ABC的重心 B.动点P的轨迹一定通过ABC的内心 C.动点P的轨迹一定通过ABC的外心 D.动点P的轨迹一定通过ABC的垂心,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018北京市丰台区二模)已知O为ABC的外心， (1)若C90，则_；,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若C90，则O为AB边的中点，,(2)若ABC60，则的最大值为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为ABC的外心，,15.(2018台州一模)已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向量b，记|bta|(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为,