高考中的概率与统计问题,高考专题突破六,考点自测,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,考点自测,1.在可行域内任取一点，其规则如算法框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x，y)形成的图形为图中阴影部分，,对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为 A.a45，c15 B.a40，c20 C.a35，c25 D.a30，c30,1,2,4,5,解析,3,2.(2017湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X和Y的22列联表如下：,答案,1,2,4,5,3,1,2,4,5,3,解析,3.设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为 A.1a,4 B.1a,4a C.1,4 D.1,4a,答案,4.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的 ，则这个班男生的人数为_.,解析,答案,1,2,4,5,3,33,5.某单位为了解用电量y(度)与气温x()之间的关系，随机统计了某 4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：,由表中数据得线性回归方程为ybxa中的b2，预测当气温为4 时，用电量约为_度.,68,1,2,4,5,3,解析,答案,所以a40(2)1060，所以当x4时，y(2)(4)6068，所以用电量约为68度.,1,2,4,5,3,题型分类 深度剖析,题型一 古典概型与几何概型,解析,答案,(2)(2017太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为,解析,答案,解析 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种.故所求事件的概率为 .故选C.,几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏.,解析 f(x)x22axb2，要使函数f(x)有两个极值点，则有(2a)24b20，即a2b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值. 满足a2b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为,跟踪训练1 (1)(2017商丘二模)已知函数f(x) x3ax2b2x1，若a是从1,2,3中任取的一个数，b是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为,解析,答案,(2)(2017青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 .现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率 是_.,解析,答案,题型二 概率与统计的综合应用,例2 (2017西安质检)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).,解答,(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？,由此估计A班学生每周平均上网时间为17小时； B班样本数据的平均值为,由此估计B班学生每周平均上网时间为19小时. 所以B班学生上网时间较长.,(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求ab的概率.,解答,解 A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21.从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况， 分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，,概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.,跟踪训练2 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100)后得到如图所示的频率分布直方图.,解答,(1)求图中实数a的值；,解 由已知，得10(0.0050.0100.020a0.0250.010)1， 解得a0.03.,(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；,解答,解 根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为110(0.0050.010)0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为6400.85544.,(3)若从数学成绩在40,50)与90,100)两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.,解答,解 易知成绩在40,50)分数段内的人数为400.052，这2人分别记为A，B；成绩在90,100)分数段内的人数为400.14，这4人分别记为C，D，E，F. 若从数学成绩在40,50)与90,100)两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个. 如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100)分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.,如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100)分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10. 记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M),题型三 概率与统计案例的综合应用,解答,例3 某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人. (1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；,(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下22列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？,解答,解 根据统计数据，可得列联表如下：,所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为科类的选择与性别有关.,统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.,跟踪训练3 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： (1)请将如图的列联表补充完整.若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？,解答,解 完善补充列联表如下：,(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.,下面的临界值表供参考：,解答,解 根据22列联表，则,所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.,课时作业,1.某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查，其中老年、中年、青年职员的人数之比为k53，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知在老年职员中抽取了24人，则在青年职员中抽取的人数为_.,基础保分练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,36,解析 老年、中年、青年职员的人数之比为k53，,2.在不等式组 所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均 为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个 顶点的概率为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1种情况， 所以能够作为三角形3个顶点的情况有9种，,3.(2018唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.,1,2,3,4,5,6,解答,1,2,3,4,5,6,(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；,解 由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名. 所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有600.053(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有400.052(人)，记为B1，B2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2). 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).故所求的概率P,1,2,3,4,5,6,解答,1,2,3,4,5,6,(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？,1,2,3,4,5,6,解 由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有600.2515(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有400.37515(人)，据此可得22列联表如下：,1,