高考中的数列问题,高考专题突破三,考点自测,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,考点自测,1,2,3,4,5,解析,答案,1.(2017洛阳模拟)已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2， a4，a8成等比数列，则 等于 A.2 B.3 C.5 D.7,(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，,1,2,4,5,解析,3,答案,1,2,4,5,3,解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d.,ana1(n1)dn.,1,2,4,5,3,解析,3.若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9,答案,1,2,4,5,3,解析 由题意知abp，abq，p0，q0，a0，b0. 在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a； 成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.,p5，q4，pq9，故选D.,解析,答案,1,2,4,5,3,1,2,4,5,3,解析 an是等比数列，bn是等差数列，,解析,1,2,4,5,3,答案,4,1,2,4,5,3,an2an1，又a11， an是以1为首项，以2为公比的等比数列， an(2)n1，,由1Sk9，得4(2)k28， 又kN，k4.,题型分类 深度剖析,例1 (2016四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n 项和，Sn1qSn1，其中q0，nN. (1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；,题型一 等差数列、等比数列的综合问题,解答,解 由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1. 又由S2qS11得a2qa1， 故an1qan对所有n1都成立. 所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列， 从而anqn1. 由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3， 所以a32a2，故q2. 所以an2n1(nN).,解答,解 由(1)可知，anqn1，,(11)(1q2)1q2(n1) n1q2q2(n1),等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序. (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.,解答,跟踪训练1 (2018沧州模拟)已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解 设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，,解答,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，,当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，,题型二 数列的通项与求和,例2 (2018邢台模拟)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,解答,由题意得(2a12)2a1(4a112)， 解得a11，所以an2n1.,解答,(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.,证明,(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.,解答,题型三 数列与其他知识的交汇,命题点1 数列与函数的交汇 例3 (2018长春模拟)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN). (1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；,解答,解答,解 f(x)2xln 2，f(a2) ， 故函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y (xa2)，,解得a22， 所以da2a11.,命题点2 数列与不等式的交汇 例4 (2016天津)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN，bn是an和an1的等比中项.,证明,因此cn1cn2d(an2an1)2d2， 所以cn是等差数列.,证明,命题点3 数列应用题 例5 某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？(参考数据：取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665),解答,解 甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(130%)，所以10年所获得的总利润为 S101(130%)(130%)2(130%)9,贷款到期时，需要偿还银行的本息是 10(15%)1016.29(万元)， 故使用甲方案所获纯利润为42.6216.2926.33(万元).,乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5， 所以10年所获得的总利润为 T101(10.5)(120.5)(190.5),故使用乙方案所获纯利润为32.513.2119.29(万元). 综上可知，甲方案获利更多.,故贷款到期时，需要偿还银行的本息是 1(15%)10(15%)9(15%),数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题； 已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.,(2)数列与不等式的交汇问题 函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； 比较方法：作差或者作商比较. (3)数列应用题 根据题意，确定数列模型； 准确求解模型； 问题作答，不要忽视问题的实际意义.,(1)求数列an的通项公式；,解答,解 f(x)2axb，由题意知b2n， 16n2a4nb0，,又f(x)x2n，,当n1时，a14也符合，,解答,Tnb1b2bn,课时作业,解 当n2时，4S45S28S3S1，,基础保分练,1,2,3,4,5,6,解答,证明,1,2,3,4,5,6,证明 因为4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)， 所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)， 即4an2an4an1 (n2)，,1,2,3,4,5,6,所以n1也满足此式， 所以4an2an4an1 (nN)，,1,2,3,4,5,6,解答,(3)求数列an的通项公式.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解答,1,2,3,4,5,6,2.(2017福建漳州八校联考)已知递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式；,an是递增数列，a12，q2， 数列an的通项公式为an22n12n.,(2)若bnan an，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整数n的最小值.,解答,1,2,3,4,5,6,Snb1b2bn(12222n2n)， 则2Sn(122223n2n1)， ，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1， 则Snn2n12n12， 解2n1262，得n5， n的最小值为6.,(1)求数列an的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,6,解 设正项等差数列an的首项为a1，公差为d，且an0.,解答,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 bn1bnan1且an2n1(nN)， bn1bn2n3， 当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n1)53n(n2). 当n1时，b13满足上式， bnn(n2)，,1,2,3,4,5,6,4.(2018届广州海珠区综合测试)已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，an12Sn1，nN. (1)求数列an的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,6,解 由题意得an12Sn1， an2Sn11(n2). 两式相减得an1an2(SnSn1)2an， 则an13an(n2)， 所以当n2时，an是以3为公比的等比数列.,1,2,3,4,5,6,an是首项为1，公比为3的等比数列， 所以an3n1.,解答,(2)设bnlog3an1，求数列anbn的前n项和Tn.,1,2,3,4,5,6,解 bnlog3an1log33nn， 所以anbn3n1n， Tn(301)(312)(323)(3n2n1)(3n1n) (3031323n23n1)(123n1n),技能提升练,1,2,3,4,5,6,5.(2017济宁模拟)已知Sn是正项数列an的前n项和，且2Sna an，等比数列bn的公比q1，b12，且b1，b3，b210成等差数列. (1)求数列an和bn的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,6,解 当n2时，由题意得,(anan1)(anan11)0， an是正项数列，anan10，anan11，,a10，a11，数列an是首项为1，公差为1的等差数列， an1(n1)1n.由b12 ，2b3b1(b210)，得2q2q60，,解答,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,记W2n122222n22n， 则2W2n1222232n22n1，,1,2,3,4,5,6,W2n(2n1)22n12，,解答,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,(1)求数列an，bn的通项公式；,1,2,3,4,5,6,解 由(n1)an(n1)an1，,1,2,3,4,5,6,因为b12，bn12bn， 所以bn是首项为2，公比为2的等比数列， 故bn2n.,解答,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 由(1)知，bn2n，则,假设存在自然数m，使得对于任意nN，n2，,解答,1,2,3,4,5,6,