2017年龙华中学中考复习专用,第一三讲：圆,1.圆的定义（运动观点）,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”,r,O,A,知识点一：圆的概念,2.圆的定义（集合观点）,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。,（2）到定点的距离等于定长的点都在圆上。,注：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,C,O,A,B,连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，,知识点二：与圆有关的概念,弦,弧,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,C,O,A,B,O,B,A,C,O,A,B,劣弧与优弧,等圆与等弧,半径相等的两个圆叫做等圆；,在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫做等弧；,圆心相同半径不相等的圆叫做同心圆；,注：（1）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。在同圆或等圆中所有的直径都相等，所有的半径都相等。 （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是优弧也不是劣弧。 （3）长度相等的弧不一定是等弧。 （4）由弦和弧组成的图形叫做弓形。,A,B,例1：如图，AB为O的直径，点C，D在O上，已知BOC70，ADOC，则AOD_度,例2 如图，AB，AC为O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，BC.求证：CEBF.,例3 如图所示，AB为O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB2DE，E18，求AOC的度数,例4 如图，AB、CD是O的直径，且ABCD，点P、Q为弧CB上的任意两点，作PECD，PFAB，QMCD，QNAB，则线段EF、MN的大小关系为：EF_ MN.(填“”“”或“”),1.下面3个命题：半径相等的两个圆是等圆；长度相等的弧是等弧；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题的个数为( )A0个 B1个 C2个 D3个 2如图，在ABC中，AB为O的直径，B60， BOD100，则C的度数为( )A50 B60 C70 D80 3下列四边形：平行四边形；菱形；矩形；正方形其中四个顶点在同一个圆上的有( )A1个 B2个 C3个 D4个 4点P到圆上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则此圆的半径为( )A9 cm B1 cm C9 cm或1 cm D无法确定 5已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的 点，则弦长AB的取值范围是_cm. 6已知，如图，OA，OB为O的半径，C， D分别为OA，OB的中点求证：ADBC.,知识点三：圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,知识点四：垂径定理,垂径定理：,应用：,直径CD弦AB于点E,AE=BE,垂径定理的推论：,且AE=BE,直径CD与非直径的弦AB交于点E,CDAB,应用：,弦心距（圆心到弦的距离）d，半径r，弦长a，这三者之间的关系,在圆中，解决有关弦的问题时，常常要作“弦心距”作为辅助线。弦心距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,知识点四：垂径定理,例1：(黔东南中考)如图，已知O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，ACD22.5，若CD6 cm，则AB的长为( )A4 cm B3 cm C2 cm D2 cm,例2 (南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB160 cm，则油的最大深度为( )A40 cm B60 cm C80 cm D100 cm,例3 (茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为_米,1.(舟山中考)如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE2，DE8，则AB的长为( )A2 B4 C6 D8,2如图，已知O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，AOB120，则弦AB的长为_ 3如图，在O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，ODAB于点D，OEAC于点E，且AB8 cm，AC6 cm，那么O的半径OA长为_ 4如图，AB是O的弦，AB长为8，P是O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OCAP于点C，ODPB于点D，则CD的长为_,5(黔东南中考)如图，AD是O的直径，弦BCAD于E，ABBC12，则OC_6(邵阳中考)如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所弧AB在圆O的半径r. 7(佛山中考)如图，O的直径为10 cm，弦AB8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围 综合题 8(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示) (1)求证：ACBD； (2)若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长,A,B,所对的弦为AB；,知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系,1.圆心角：,2.圆心角与弧的关系：,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,O,A,B,A,B,顶点在圆心的角,叫圆心角，如 AOB,定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,3.弧、弦、圆心角与弦心距之间的关系：,推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,例1：如图，A，B，C，D是O上的四点，且ADBC，则AB与CD的大小关系为( )AABCD BABCDCABCD D不能确定,例2如图，已知A，B，C，D是O上的点，12，则下列结论中正确的有( ) ； ；ACBD；BODAOC.A1个 B2个 C3个 D4个,例3 如图，AB，DE是O的直径，点C是O上的一点，且 ，求证：BECE.,1.如图，在O中，已知弦ABDE，OCAB，OFDE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为( )DOEAOB；ABDE；OFOC；ACEF.A1个 B2个 C3个 D4个,2.如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，MEAB于点E，NFAB于点F.下列结论：AMMNNB；MENF；AEBF；ME2AE.其中正确结论的序号是_,3.如图所示，O1和O2为两个等圆，O1AO2D，O1O2与AD相交于点E，AD与O1和O2分别交于点B，C，求证：ABCD.,4.如图，AB是O的直径，ACCD，COD60.(1)AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OCBD.,5.如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交A于G，求证：CEEF.,知识点六：圆周角,1.圆周角：,顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫做圆周角,2.圆周角定理,(1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,几何语言：,(2).推论1:半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径,知识点六：圆周角推论,在O中，AB是直径 C=90,C=90 AB是直径,推论2：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形,在ABC中，DC=DA=DB ABC是直角三角形或C=90,推论4：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,例1. (娄底中考)如图，将直角三角板60角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点(与A、B不重合)，则APB_,例2 (云南中考)如图，点A、B、C是O上的点，OAAB，则C的度数为_,例3 (朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角ACB30，则这个人工湖的直径为_m.,例4 如图，已知A，B，C，D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分ADC.,例5. (江西中考)如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图(1)在图1中，画出ABC的三条高的交点；(2)在图2中，画出ABC中AB边上的高,例6 如图，C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知OBA30，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为_,(台州中考)下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( ),2.(牡丹江中考)如图，ABD的三个顶点在O上，AB是直径，点C在O上，且ABD52，则BCD等于( )A32 B38 C52 D66,3.(湛江中考)如图，AB是O的直径， AOC110，则D( )A25 B35 C55 D70,4.(贵阳中考)如图，AB是O的直径，点D在O上，BOD130，ACOD交O于点C，连接BC，则B_度,5.如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点 (1)求证：ABC为等边三角形； (2)求DE的长,圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角,知识点七：圆内接多边形,1.圆内接多边形的定义：,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。,2.圆内接四边形：,如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。,定义：,性质：,几何语言表示：,四边形ABCD是O内接四边形,A+C=180,ADC+B=180,EDC=B,例1 (湘潭中考)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若DAB60，则BCD的度数是( )A60 B90 C100 D120,例2 (常德中考)如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100，则BCD的度数为( )A50 B80 C100 D130,