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7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积,第一章 7 简单几何体的面积和体积,学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式,会利用它们求有关几何体的体积. 2.掌握求几何体体积的基本技巧.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 柱、锥、台体的体积公式,Sh,(S上S下 )h,Sh,知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,思考辨析 判断正误 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ),题型探究,例1 如图,四边形ABCD为正方形,QA平面ABCD,PDQA,QAAB PD.(1)证明:PQ平面DCQ;,类型一 多面体的体积,证明,证明 由题知四边形PDAQ为直角梯形. 因为QA平面ABCD,QA平面PDAQ, 所以平面PDAQ平面ABCD,交线为AD. 又四边形ABCD为正方形,DCAD, 所以DC平面PDAQ,可得PQDC.则PQQD. 又DCQDD,DC,QD平面DCQ, 所以PQ平面DCQ.,(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值.,解答,解 设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高,,由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高.,故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.,反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法:规则几何体直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.,跟踪训练1 如图,在三棱柱 中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面 将三棱柱分成体积为 的两部分, 那么 _.,解析,答案,75,解析 设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V, 则VV1V2Sh. 因为E,F分别为AB,AC的中点,,类型二 旋转体的体积,例2 体积为52 cm3的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的9倍,求截得这个圆台的圆锥的体积.,解答,解 由底面面积之比为19知,体积之比为127. 截得的小圆锥与圆台体积比为126, 小圆锥的体积为2 cm3, 故原来圆锥的体积为54 cm3.,反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面,将已知条件尽量归结到轴截面中求解,分析题中给出的数据,列出关系式后求出有关的量,再根据几何体的体积公式进行运算、解答. (1)求台体的体积,其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解. (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想,作出截面图,将空间问题平面化,是解决此类问题的关键.,跟踪训练2 设圆台的高为3,如图,在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,则圆台的体积为_.,21,答案,解析,解析 设上,下底面半径,母线长分别为r,R,l.作A1DAB于点D,则A1D3,A1AB60, 又BA1A90, BA1D60,,21. 圆台的体积为21.,类型三 几何体体积的求法,命题角度1 等体积法 例3 如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1D1EF的体积.,解答,解,又三棱锥FA1D1E的高为CDa,,反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理. (2)利用等体积法可求点到面的距离.,跟踪训练3 如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在三棱锥A1ABD中,求A到平面A1BD的距离d.,解答,解 在三棱锥A1ABD中,AA1是三棱锥A1ABD的高,,命题角度2 割补法 例4 如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EFAB,EF2,EF与平面AC的距离为3,求该多面体的体积.,解答,解 如图,连接EB,EC,AC. 四棱锥EABCD的体积VEABCD 42316. 因为AB2EF,EFAB, 所以SEAB2SBEF.所以该多面体的体积VVEABCDVFEBC16420.,反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题,需要思路灵活,有充分的空间想象力,什么时候“割”,什么时候“补”,“割”时割成几个图形,割成什么图形,“补”时补上什么图形,都需要灵活的选择.,跟踪训练4 如图所示,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.,解答,解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图所示,则圆柱的体积为22520,故所求几何体的体积为10.,达标检测,1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,解得r4.,1,2,3,4,5,2,3,3.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是 A.186 B.62 C.24 D.18,4,5,1,答案,解析,4.已知某圆台的上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,则这个圆台的体积是_.,解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h, 则S上r2,S下R24. r1,R2,S侧(rR)l6. l2,,答案,解析,2,3,4,5,1,5.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降_cm.,2,3,4,5,1,0.6,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 将铅锤取出后,水面下降部分实际是圆锥的体积. 设水面下降的高度为x cm,则得x0.6 cm.,1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥ABCD中,若求点A到平面BCD的距离h,可以先求VABCD,h .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离,其中V一般用换 顶点法求解,即VABCDVBACDVCABDVDABC,求解的原则是V易求,且BCD的面积易求. 3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.,规律与方法,
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