第二节 函数的单调性与最值,总纲目录,教材研读,1.函数的单调性,考点突破,2.函数的最值,考点二 求函数的最值（值域）,考点一 确定函数的单调性（区间）,考点三 函数的单调性的应用,教材研读,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的) 单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 .,2.函数的最值,1.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( ) A.m B.m- D.m-,答案 B y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即m .,B,2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是 ( ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1),答案 A y=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B;y=2-x= 为减函数, 排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函 数,排除D;y= 和t=x+1均为增函数,所以y= 为增函数,故选A.,A,3.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意的x1,x22,+),且x1 x2,不等式 0恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意知函数f(x)在2,+)上单调递增,则 解得a , 故选D.,D,4.已知函数y= ,那么 ( ) A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+) B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+) C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+) D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+),答案 A 函数y= 的图象可看作y= 的图象向右平移1个单位得到 的,y= 在(-,0)和(0,+)上单调递减,y= 在(-,1)和(1,+)上 单调递减,故选A.,A,5.已知f(x)= ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .,2,答案 2;,解析 易知函数f(x)= 在x2,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2, f(x)min= f(6)= .,考点一 确定函数的单调性(区间) 典例1 (1)判断函数f(x)=x+ (a0)在(0,+)上的单调性; (2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.,考点突破,解析 (1)设x1,x2是任意两个正数,且x10,即f(x1)f(x2), 所以函数f(x)在(0, 上是减函数; 当 x1a,x1-x20)在(0, 上是减函数,在 ,+)上为增函 数.,(2)易知f(x)= = 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-,-1)和0,1,单调递减 区间为-1,0和1,+).,方法技巧,1.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义 法和导数法. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图 象的升、降判断函数的单调性.,2.确定函数的单调区间的方法 (1)定义法:先求定义域,再利用单调区间的定义来求. (2)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须 是函数定义域的子集;二是图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数, 其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接. (3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.,1-1 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x,答案 D 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1 个单位得到的,故y= 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y= cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+ 1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1) 上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.,D,1-2 函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是 ( ) A.(-,0) B. C.0,+) D.,B,答案 B (数形结合法) y=|x|(1-x)= = =,由图易知原函数在 上单调递增. 故选B.,画出函数的图象,如图.,典例2 (1)函数y=x+ 的最小值为 ; (2)已知函数f(x),对于实数t,若存在a0,b0,满足xt-a,t+b,使得|f(x)- f(t)|2,则记a+b的最大值为H(t). 当f(x)=2x时,H(0)= ; 当f(x)=x2且t1,2时,函数H(t)的值域为 .,考点二 求函数的最值(值域),1,2, - ,2)2 ,4,答案 (1)1 (2)2 - ,2)2 ,4,解析 (1)令 =t,则t0,x=t2+1, 所以y=t2+t+1= + , 当t0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1. (2)当t=0时,|f(x)-f(0)|=|2x|2,所以-1x1,即x0-1,0+1,所以a=b= 1,H(0)=2.,|f(x)-f(t)|=|x2-t2|2,所以t2-2x2t2+2.,i.若t( ,2,则0t2-2x2t2+2, 又xt-a,t+b,此时x , , 所以a=t- ,b=-t+ , 所以a+b= - = 关于t2单调递减, 所以a+b - ,2).,ii.若t1, ,则t2-20x2t2+2, 又xt-a,t+b,此时x- , , 所以a=t+ ,b= -t, 所以a+b=2 关于t2单调递增, 所以a+b2 ,4, 综上,a+b - ,2)2 ,4.,方法技巧 求函数最值的三种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值.,2-1 函数f(x)= 的最大值是 .,解析 当x1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为 f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2.,答案 2,2,2-2 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min4x+1,x+ 4,-x+8的最大值是 .,答案 6,解析 在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取 位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示. 由图象可知,函数f(x)在x=2处取得最大值6.,6,考点三 函数单调性的应用 命题方向一 比较函数值的大小,典例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac,D,答案 D,解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是 减函数, 所以a=f =f ,f(2)f(2.5)f(3),所以bac.,命题方向二 解函数不等式,典例4 已知函数f(x)= ,xR,若对任意 ,都有f(msin )+ f(1-m)0成立,则实数m的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(-,1) D.(-,1,D,答案 D,解析 f(x)= ,f(-x)= =-f(x), f(x)为奇函数, f(msin )-f(1-m),即f(msin )f(m-1), 又f(x)在(-,+)上为增函数, msin m-1对 恒成立. 当= 时,sin =1,msin m-1恒成立.,当 时, 1,msin m-1恒成立等价于m 恒成立, 即m ,m1. 综上,m1,故选D.,命题方向三 求参数的取值范围,典例5 已知函数f(x)= 其中a0,且a1,若f(x)在(-, +)上单调递增,则实数a的取值范围为 .,解析 要使函数f(x)在R上单调递增, 则有 即 解得2a3, 即实数a的取值范围是(2,3.,答案 (2,3,(2,3,方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数,不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制. (3)利用函数的单调性求参数的取值范围 依据函数单调性的定义,通过作差构造关于参数的不等式,再进行求解.,3-1 (2017北京海淀一模,4)设a,bR,若ab,则 ( ) A. 2b C.lg alg b D.sin asin b,答案 B a,bR,且ab, 当a0,bb,但sin asin b,故D不成立,故选B.,B,3-2 已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足f(2x-1)f 的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意得 解得 x .,D,