第七节 n次独立重复试验与二项分布,总纲目录,教材研读,1.条件概率及其性质,考点突破,2.相互独立事件,3.独立重复试验与二项分布,考点二 相互独立事件的概率,考点一 条件概率,考点三 n次独立重复试验与二项分布,教材研读,1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概 率叫做 条件概率 ,用符号 P(B|A) 来表示,其公式为P(B|A)= (P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件 的个数,则P(B|A)= . (2)条件概率具有的性质: (i) 0P(B|A)1 ; (ii)如果B和C是两个互斥事件,那么P(BC|A)= P(B|A)+P(C|A) .,2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称 A、B是相 互独立事件 . (2)若A与B相互独立,则P(B|A)= P(B) , P(AB)=P(B|A)P(A)= P(A)P(B) . (3)若A与B相互独立,则 A与 , 与B , 与 也都相 互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 A与B相互独立 .,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立 的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发 生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事 件A发生的概率为p,则P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n) ,此时称随 机变量X服从 二项分布 ,记为 XB(n,p) ,并称p为成功概率.,1.已知P(B|A)= ,P(AB)= ,则P(A)等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A)= .,C,B,2.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)= ,则P(EF)的值等于( ) A.0 B. C. D.,B,答案 B EF代表E与F同时发生,P(EF)=P(E)P(F)= .故选B.,3.设随机变量XB ,则P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D.,A,答案 A XB ,P(X=3)= = .,B,4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击 中目标的概率为 .,答案,解析 可看作3次独立重复试验,则P= 0.620.4+0.63= .,B,5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别 为 , , ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 .,答案,解析 依题意得,加工出来的零件的正品率是 =,因此加工出来的零件的次品率是1- = .,B,考点一 条件概率,考点突破,典例1 某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸 出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为 ( ) A. B. C. D.,B,答案 B,解析 “第一次摸出新球”记为事件A,则P(A)= ,“第二次摸出新 球”记为事件B,则P(AB)= = ,P(B|A)= = = ,故选B.,方法技巧 条件概率的求法:(1)利用条件概率公式,分别求P(A)和P(AB),再利用P(B| A)= 求解,这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公 式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)= .,1-1 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨 天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件 下,乙市也为雨天的概率为 ( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66,A,答案 A 将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B, 则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)= = =0.6.,考点二 相互独立事件的概率,典例2 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数 百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号 中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中 随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X2”的概率.,解析 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选 中3号歌手”, 则P(A)= = ,P(B)= = . 事件A与B相互独立, 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(A )=P(A)P( )=P(A)1-P(B) = = . (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”, 则P(C)= = ,依题意,A,B,C相互独立, , , 相互独立,且AB ,A C, BC,ABC彼此互 斥. P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) = + + = , P(X=3)=P(ABC)= = , P(X2)=P(X=2)+P(X=3)= + = .,方法技巧 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面计算较复杂或难以入手时,可从对立事件入手计算.,2-1 (2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下 (假设各场比赛相互独立):,(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率 超过0.6的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率 一场超过0.6,一场不超过0.6的概率.,解析 (1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6 的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4. 所以随机选择一场比赛,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)记事件A为“随机选择一个主场比赛,李明的投篮命中率超过0.6”; 事件B为“随机选择一个客场比赛,李明的投篮命中率超过0.6”;事件C 为“随机选择一个主场和一个客场比赛,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6”,则C=A B(A,B独立). 根据投篮统计数据,知P(A)= ,P(B)= , P(C)=P(A )+P( B)= + = . 所以在随机选择的一个主场和一个客场比赛中,李明的投篮命中率一场,超过0.6,一场不超过0.6的概率为 .,考点三 n次独立重复试验与二项分布,典例3 (2017北京丰台二模,16)某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品, 为了解新产品的销售情况,该超市随机调查了15位顾客(记为ai,i=1,2,3, ,15)购买这四种新产品的情况,记录如下:,(1)若该超市每天的客流量约为300人次,一个月按30天计算,试估计 产品A的月销售量(单位:件); (2)为推广新产品,超市向购买两种以上(含两种)新产品的顾客赠送2元 电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物,记他们获得的电子红包 的总金额为X(元),求随机变量X的分布列和数学期望; (3)若某顾客已选中产品B,为提高超市销售业绩,应该向其推荐哪种新产 品?(结果不需要证明),解析 (1) 30030=3 000(件). 答:产品A的月销售量约为3 000件. (2)顾客购买两种(含两种)以上新产品的概率P= = . X的所有可能取值为0,2,4,6 , 则 P(X=0)= = ,P(X=2)= = , P(X=4)= = ,P(X=6)= = ,所以X的分布列为,所以E(X)=0 +2 +4 +6 = = . (3)产品D.,易错警示 利用n次独立重复试验的概率公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)可以 简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足两个条件:(1) 在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完 全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的. 另外,要注意利用公式求得的是n次试验中事件A恰好发生了k次(X=k)的 概率.,3-1 某地区有800名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方 图如图所示.其中成绩的分组区间是75,80),80,85),85,90),90,95),95, 100.规定90分及以上为合格. (1)求图中a的值; (2)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率; (3)若三个人参加交通法规考试,用X表示这三人中考试合格的人数,求X 的分布列.,解析 (1)由直方图知(0.01+0.02+0.06+0.07+a)5=1, 解得a=0.04. (2)记事件A为“某个学员交通法规考试合格”. 由直方图知P(A)=(0.06+0.02)5=0.4. (3)依题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3.,P(X=0)=(1-0.4)3=0.216,P(X=1)= 0.4(1-0.4)2=0.432,P(X=2)= 0.42(1-0.4)=0.288, P(X=3)=0.43=0.064. 所以X的分布列为,