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第四章 连续系统频域分析,用傅立叶变换研究零状态系统激励与响应之间的关系及系统的功能。,4-1 系统函数,一、定义,系统函数定义:,(1)h(t)的傅立叶变换; (2)描述系统频率特性;(3)取决于系统本身。,三、计算:,例:求系统函数H(j)。,二、系统的频率特性,系统幅频特性:响应与激励信号幅度比,系统相频特性:响应与激励信号相位差,4-2 系统的零状态响应,一、周期信号的零状态响应(稳态响应),1、基本信号 :,由反变换:,2、基本信号 :,3、非正弦周期信号,(1)方法一:用谐波分析方法(叠加定理),(2)方法二:傅立叶变换(频域分析法),结论:周期信号作用于线性系统,其响应也为周期信号;周期激励信号的频谱为冲激序列,其响应频谱也为冲激序列。,例:图(a)所示系统,若激励如图(b)所示,求响应i(t)。,(a),(b),【解】,(n为奇数),=1,响应i(t)的频谱:,(n为奇数),激励u(t)的频谱:,(n为奇数),例:图(a)所示系统,频率特性如图(b)所示,求响应y(t)。其中,(a),(b),【解】,方法1:,方法2:,二、 非周期信号通过线性系统(零状态响应),零状态响应:,解:,例1:求图示电路的单位阶跃响应。,(a),(b),(a),(b),例2:,h(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系统零状态响应 y(t) 。,解:,例3: 图示电路,,解:,例4:图示系统,激励f(t)和系统的频率特性如图所示,求零状态响应 y(t)。,解:,例5:,图示系统, 求零状态响应 y(t) 。已知:,解:,x(t),一、时域:,4-3 信号通过线性系统不失真条件,二、频域:,信号失真,线性失真:幅度失真、相位失真,非线性失真: 产生新的频率成分,全通幅频特性,线性相移特性,例1:图示电路,f(t)=GT(t-T/2),求响应y(t) 。,解:,例2: 图示系统,若要求不失真传输,(1)求R1和R2;(2)求电阻与电容参数关系.,(1),(2),解:,若要求不失真传输,若要求不失真传输,则,若能无失真传输,其条件为什么?,例3:,解:,故该网络可以在一定频率范围无失真传输,其频率范围为:,一. 理想低通滤波器,C 为截止频率,称为理想低通滤波器通频带。,在0 C 的低频段内,传输信号无失真。 (有时延t0),4-4 理想低通滤波器,滤波器:使一部分频率范围的信号通过,而另一部分信号得以抑制的系统。,分类: 低通、高通、带通、带阻等滤波器。,(通带),(阻带),二. 单位冲激响应h(t),或,1、h(t)与(t)比较,严重失真; 2、h(t)为抽样函数,最大值为,3、滤波器限制输入信号高频成分;,4、 t0时,h(t)0 非因果系统 理想低通滤波器是物理不可实现;,讨论:,5、物理可实现的滤波器,其幅频特性为,Paley -Wiener 准则 (佩利-维钠准则),(实际低通滤波器通过逼近实现),h(t)有效持续时间:,(主瓣),必要条件:,对于有理多项式构成的幅度函数,是因果系统,物理可实现。,三. 理想低通滤波器阶跃响应,正弦积分函数,单位阶跃响应讨论:,2上升时间:响应由最小值到最大值所经历的时间,记作,3阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。,理想低通滤波器的单位阶跃响应为 正弦积分函数,4理想低通滤波器是一个非因果系统和不可实现系统。,四、矩形脉冲响应,1、y(t)的图示波形条件是:, ,,否则,y(t),失真更加严重。,2、如果过窄或c过小,则响应波形完全丢失了激励信号的矩形脉冲现象。,4-4 抽样定理,一、抽样(采样、sample):,利用抽样序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。,信号数字处理原理:,需解决的问题:,计算机,周期 序列,Ts为抽样周期,fs=1/TS为抽样频率。,二、理想冲激序列抽样,f(t):有限带宽信号并假定 其最高工作频率为,讨论:采样周期变化对频谱的影响,1) 当s 2m时,Fs(j )是F(j )在不同s倍数上的重复与再现,幅值为原值的1/Ts 。,2) 当s2m时,Fs(j )含有F(j )完整频谱,(s 2m),一个最高频率为m的有限带宽信号f(t),可用均匀抽样间隔Ts1/2fm的抽样值fs(t)唯一确定。,若从fs(t) 恢复f(t),可用一个接理想低通滤波器实现,滤波器截止频率:,说明:1) f(t)为有限带宽信号,即: | | m时,F(j )=02) 抽样间隔,或: 抽样频率,奈奎斯特抽样间隔,奈奎斯特抽样频率,五、时域抽样定理,滤波器增益:1)理想冲激抽样:,2)脉冲序列抽样:,1、实现连续信号离散化,为信号的数字处理奠定基础; 2、实现信号的时分复用,为多路信号传输提供理论基础。,在同一时间里传送不同信号,PCM (脉冲编码调制)电话中采用时分复用方式。,六、抽样定理意义,三路信号的时分复用图示,例:图(a)示系统,其H1 (j )和f1(t) 如图(b) 、(c) 所示。,解:,4)欲使y(t)=f(t),H2 (j )应有右图频率特性。,1) 求F1(j )的频谱图; 2)求T (t)中抽样间隔Ts最大值; 3) 求s=2m时Fs(j )的频谱图; 4)欲使y(t)=f(t),求H2 (j )的频率特性。,一个持续时间有限信号f(t)(-tm ,tm )的频谱F (j ) , 若在频域中已不大于1/2tm 的频率间隔对f(t)的频谱F(j)进 行均匀抽样,抽样后的频谱Fs(j)可用唯一的表示原信号。,这样可得到f(t)在时域中重复形成周期信号fs(t) ,不会产生混叠。若从fs(t) 恢复f(t), 可用一个矩形脉冲作为选通信号,选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。,说明:1) f(t)为持续时间有限信号,即: | t | tm时, f(t)=02) 抽样间隔,七、频域抽样定理,(证明略),例:图(a)所示系统中,已知 H1(j)、H2(j)图 (b)、(c)所示,且已知2 0 ,并可无失真地恢复出f(t)。,1、画出f(t)、f1(t)、f3(t)、f5(t)的频谱函数图; 2、 f5(t)的 频谱不混叠时, 2 、0应满足什么条件? 3、 3 应为多大?,本章要点:,1、信号通过系统的响应求解: 周期信号、非周期信号通过线性系统的响应。 2、频域系统函数H(j):定义、物理意义、求解方法、系统频率特性; 3、理想低通滤波器及其传输特性:,4、信号传输不失真条件:时域条件:h(t)=K(t-to)频域条件: H(j )=Ke-j to 5、抽样信号与抽样定理。,时域与频域分析对比,t 域 域,分析变量,基本信号,系统特性,激励分解,响应分解,时间变量,频率变量,(t),e-j t,h(t),H(j),系统分析,突出信号与系统的时间特性,突出信号与系统的频率特性,
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