7.1 不等关系与不等式,第七章 不等式,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.两个实数比较大小的方法,知识梳理,2.不等式的基本性质,ba,ac,acbc,acbc,acbc,acbd,acbd,anbn,3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质,(2)有关分数的性质 若ab0，m0，则,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( ) (4)ab0，cd0 ( ) (5)若ab0，则ab ( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.若a，b都是实数，则“ ”是“a2b20”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,1,2,4,5,6,解析,3,aba2b2，,答案,1,2,4,5,6,答案,解析,3.若0ab，且ab1，则将a，b， ，2ab，a2b2从小到大排列为 _.,3,1,2,4,5,6,3,解析 0ab且ab1，,又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，,题组三 易错自纠 4.若ab0，cd0，则一定有,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 cac，,5.设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,1,2,4,5,6,答案,3,解析 若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212. 即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件； 反之，若“ab3且ab2”， 则“a2且b1”不一定成立，如a6，b . 所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件.故选A.,解析,解析,1,2,4,5,6,答案,3,(，0),得0.,题型分类 深度剖析,1.已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是 A.cba B.acb C.cba D.acb,题型一 比较两个数(式)的大小,自主演练,解析,答案,解析 cb44aa2(a2)20，cb. 又bc64a3a2，2b22a2，ba21，,ba，cba.,A.abc B.cba C.cab D.bac,解析,答案,解析 方法一 易知a，b，c都是正数，,所以bc.即cba.,易知当xe时，函数f(x)是减少的. 因为ef(4)f(5)， 即cba.,比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法 一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论. (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.,典例 (1)已知a，b，c满足cac B.c(ba)0,解析,题型二 不等式的性质,师生共研,解析 由c0. 由bc，得abac一定成立.,答案,构造函数yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确.,其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D.,(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：,解析,答案,解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.,解析,答案,显然|a|b1210， 所以错误. 综上所述，可排除A，B，D.,中，因为ba0.故b|a|， 即|a|b0，故错误；,中，因为ba20，而yln x在定义域(0，)上为增函数， 所以ln b2ln a2，故错误. 由以上分析，知正确.,其中一定成立的不等式为 A. B. C. D.,解析,题型三 不等式性质的应用,多维探究,命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 已知ab0，给出下列四个不等式：,答案,解析 方法一 由ab0可得a2b2，成立； 由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数， f(a)f(b1)，即2a 2b1，成立；,若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，,命题点2 求代数式的取值范围 典例 已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.,答案,(4,2),解析,解析 1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18.,(1,18),(1)判断不等式是否成立的方法 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明. 在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.,跟踪训练 (1)若ab0，则下列不等式一定成立的是,解析 (特值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；,|a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立，故选C.,解析,答案,(2)已知1xy3，则xy的取值范围是_.,(4,0),答案,解析,解析 1x3，1y3， 3y1，4xy4. 又xy，xy0，4xy0， 故xy的取值范围为(4,0).,典例 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.,利用不等式变形求范围,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：,由此得4f(2)4a2b11. 所以f(2)的取值范围是4,11. 错误答案 4,11,现场纠错,解析 方法一 设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)， 即4a2b(mn)a(nm)b.,f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故5f(2)10.,f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110， 5f(2)10. 答案 5,10,纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.,课时作业,1.(2018济宁模拟)若a0，且xy0，则x与y之间的不等关系是 A.xy B.xy C.xy D.xy,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由a0，可知y0， 可知x0，所以xy.,解析,答案,2.若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是 A.f(x)g(x) B.f(x)g(x) C.f(x)g(x) D.随x值的变化而变化,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)g(x)x22x2(x1)210， 则f(x)g(x).,解析,3.若a，bR，且a|b|0 B.a3b30 C.a2b20 D.ab0,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由a|b|b|， 当b0时，ab0成立， 当b0时，ab0成立， ab0成立.故选D.,解析,4.(2018乐山调研)若6a10， b2a，cab，那么c的取值范围是 A.9c18 B.15c30 C.9c30 D.9c30,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由(ab)a20，可知a0且ab， 充分性成立；由ab，可知ab0， 当0ab时，推不出(ab)a20，必要性不成立.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是 A.axbycz B.azbycx C.aybzcx D.aybxcz,解析 令x1，y2，z3，a1，b2，c3. A项：axbycz14914； B项：azbycx34310； C项：aybzcx26311； D项：aybxcz22913.故选B.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018济南调研)若ab0，则下列不等式中一定成立的是,解析,解析 取a2，b1，排除B与D；,答案,9.已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,a1b1a2b2a1b2a2b1,解析,解析 a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)， 因为a1a2，b1b2， 所以a1a20，b1b20， 于是(a1a2)(b1b2)0， 故a1b1a2b2a1b2a2b1.,10.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ab0，正确.故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,zyx,解析 方法一 y2x22c(ab)0，yx. 同理，zy，zyx.,12.已知1xy4,2xy3，则3x2y的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析 设3x2ym(xy)n(xy)，,