一、非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克兰姆法则及有关定理,6 克兰姆法则,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,设有线性方程组,(1),非齐次线性方程组，,若常数项 不全为零，则称（1）为,简记为,则称（2）为齐次线性方程组，,(2),若常数项 即,简记为,二、克兰姆法则,如果线性方程组（1）的系数行列式,则方程组()有唯一解,所得的一个 n 阶行列式，即,的元素用方程组（1）的常数项 代换,证明.,证毕.,例1 解线性方程组,解 方程组的系数行列式, 方程组有唯一解（1，2，3，1）.,撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理,则方程组（1）一定有解，且解是唯一的,定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式,推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解，,则方程组的系数行列式 必为零,则方程组（2）没有非零解，即只有零解,定理2 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式,（2）,对于齐次线性方程组,（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解,注：,一定是它的解，称之为零解,推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则,它的系数行列式 d ,注：,在第二章中还将证明这个条件也是充分的，即,有非零解,例2 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解?,解,若方程组有非零解，则, 当 时，方程组有非零解,