2018/10/30,定积分定义,任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,2018/10/30,定积分的概念 （1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率， 求它在某范围内的累积问题通过 “分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似， 取极限得精确总量” 的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念即,2018/10/30,2）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围成的曲边梯形的面积，即,的几何意义是由y=f(x)，x=a，x=b与x轴围成区域的 代数面积,3） 定积分是一个数， 不定积分是一个函数的原函数的全体 因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念,2018/10/30,(4)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：,即互换定积分的上、下限，定积分要变号.,2018/10/30,定积分存在定理,定理3.4,定理3.5,且只有有限个间断点,(证明略),2018/10/30,牛顿 莱布尼茨公式,( 牛顿 - 莱布尼茨公式),定理3.6.,函数 ,则,2018/10/30,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,2018/10/30,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,2018/10/30,先来看一个例子,例1,故,2018/10/30,为去掉根号,令,则,当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3;,于是,尝试一下直接换元求定积分:,2018/10/30,换元并换限,2018/10/30,将上例一般化就得到定积分的换元积分公式,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其 上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,2018/10/30,一、换元公式,2018/10/30,应用换元公式时应注意:,(1):,(2):,(3):,2018/10/30,计算,o,例2,令,解1,2018/10/30,计算,解2,由定积分的几何意义,等于圆周的第一象限部分的面积,解3,故,o,例2,2018/10/30,解,令,例3 计算,2018/10/30,如果用第一换元法(凑微分法)求原函数， 一般不用设出新变量，因此原积分限不变.,2018/10/30,例,换元必须换限,不换元则不变限,凑微分,另解 原式,解 原式,2018/10/30,例 计算,解,2018/10/30,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,例,证,由于,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,作变换,还可以证明一些定积分等式,2018/10/30,利用这一结果计算:,则,2018/10/30,可得:,由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,2018/10/30,例,2018/10/30,定积分的换元法,例7,换元必须换限,解 原式,2018/10/30,（1）设,证,2018/10/30,例 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明,证明,与 a 的值无关,2018/10/30,定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律，与不定积分相同； 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到换元同时换限。 若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限,2018/10/30,几个特殊积分、定积分的几个等式,设 f(x) 是以L为周期的连续函数：,三角函数的定积分公式,2018/10/30,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,2018/10/30,例1. 计算,解:,原式 =,分部积分过程：,已积出的部分要求值,2018/10/30,例2 求,解: 令,则,原式,分部积分过程：,已积出的部分要求值,2018/10/30,例3,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解 原式,练习,P76: 4 (2), (3), (4) 5:(3,4),2018/10/30,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,2018/10/30,作业：,P87 复习题三： 2：（8），（10），（12），（13）； 3：(3), (5), (10),2018/10/30,例8 计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,2018/10/30,思考题,解,令,2018/10/30,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,2018/10/30,练 习 题,2018/10/30,2018/10/30,2018/10/30,2018/10/30,练习题答案,