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十二章 三角形复习,知识结构,一.全等三角形的定义与性质:,1:什么是全等三角形?一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形?,2:全等三角形有哪些性质?,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,3、寻找对应元素的规律:,1、有公共边的,公共边是对应边; 2、有公共角的,公共角是对应角; 3、有对顶角的,对顶角是对应角; 4、两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边是对应边; 5、两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角是对应角;,二、全等三角形的判定:,一般三角形 全等的条件:,1.定义(重合)法;,2.SSS;,3.SAS;,4.ASA;,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件:,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,牛刀小试,如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, 求证:AEB ADC。,证明:BD=CE BD-ED=CE-ED,即BE=CD。,牛刀小试,如图,AC=BD,CAB=DBA,你能判断BC=AD吗?说明理由。,证明: 在ABC与BAD中,AC=BD CAB=DBA AB=BA,ABCDEF(SAS),牛刀小试,如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相 交于点O,AB = AC,B = C. 求证:BD = CE,牛刀小试,已知,如图,1=2,C=D 求证:AC=AD,证明:,在ABD和ABC中 1=2 (已知) D=C(已知)AB=AB(公共边) ABDABC (AAS) AC=AD (全等三角形对应边相等),已知:如图,在ABC和ABD中,ACBC, ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC, 求证: BD=AC.,A,B,D,C,证明: ACBC, ADBDC=D=90在RtABC和RtBAD中, RtABCRtBAD (HL),A,BD=AC,牛刀小试,三、方法指引,证明两个三角形全等的基本思路:,(1):已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,(SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角,找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),全等三角形识别思路,如图,已知ABC和DCB中,AB=DC,请补充一个条件_,使ABC DCB。,思路1:,找夹角,找第三边,找直角,已知两边: AB=DC,BC=CB, ABC=DCB (SAS),AC=DB (SSS), A=D=90(HL),如图,已知C= D,添加一个条件_, 可得ABC ABD,,思路2:,再找一角,已知一边一角(边角相对) C= D,AB=AB,(AAS),CAB=DAB或 CBA=DBA,A,C,B,D,如图,已知1= 2,添加一个条件_,可得ABC CDA,,思路3:,已知一边一角(边与角相邻): 1= 2,AC=CA,A,B,C,D,2,1,找夹此角的另一边,找夹此边的另一角,找此边的对角,AD=CB,ACD=CAB,D=B,(SAS),(ASA),(AAS),如图,已知B= E,要识别ABC AED,需要添加的一个条件是_,思路4:,已知两角: B= E, A= A,找夹边,找一角的对边,AB=AE,AC=AD,或 DE=BC,(ASA),(AAS),练一练,一、挖掘“隐含条件”判全等,20,5cm,3cm,公共边,公共角,对顶角,学习提示:公共边,公共角, 对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件!,试一试,二、转化“间接条件”判全等,6.如图(6)是某同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,4.如图(4)AE=CF,AFD=CEB,DF=BE,AFD与 CEB全等吗?为什么?,解:AE=CF(已知),A,D,B,C,F,E,AEFE=CFEF(等量减等量,差相等),即AF=CE,在AFD和CEB中,,AFDCEB,(SAS),解: CAE=BAD(已知), CAE+BAE=BAD+BAE(等量减等量,差相等),即BAC=DAE,在ABC和ADE中,,ABC ADE,(AAS),6.“三月三,放风筝”如图(6)是小东同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,解: 连接AC,ADCABC(SSS), ABC=ADC (全等三角形的对应角相等),在ABC和ADC中,,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法: QDOA,QEOB,QDQE点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法: QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,四、角的平分线: 1.角平分线的性质:,2.角平分线的判定:,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC. 作法:,3、用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C,3.作射线OC.,SSS,则射线OC就是AOB的平分线.,1.如图,ABCDEF,ACDF,D的对应角是( )A.F B.DEFC.BAC D.C,C,2.判定两个三角形全等必不可少的条件是( ) A.至少有一边对应相等 B.至少有一角对应相等 C.至少有两边对应相等 D.至少有两角对应相等,A,3.如图,ABAC,DEDF,ABDE,BECF,则可判定ABCDEF的根据是( )A.SSS B.SASC.HL D.AAS,D,4.已知ABCDEF,且ABC的周长为100 cm,A、B分别与D、E相对应,并且AB30 cm,DF25 cm,则BC的长等于 ( )A. 45 cm B. 55 cmC. 30 cm D. 25 cm,A,5.在RtABC中,C90,AD平分BAC,交BC于D,若BC32,且BD:CD9:7,则点D到AB的距离为( )A. 18 B. 16 C. 14 D. 12,C,7x,6.如图,在ABC中,C90,点O为ABC的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,垂足点分别是D、E、F,且AB10,BC8,AC6,则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于( )A. 2、2、2 B. 3、3、3C. 4、4、4 D. 2、3、5,A,B,C,O,D,E,F,A,7.如图, ABC中,AD是BAC的平分线,E、F分别是AB、AC上的点,且DEDF,则EDFBAF .,(提示:作DGAB于G,DHAC于H),180,8.如图,ABCD,A90,ABEC,BCDE,DE、BC交于点O. 求证:DEBC.,证明:ABCDDCA180A1809090在RtABC和RtCED中,RtABCRtCED(HL),BDEC,又A90 ACBB90,ACBDEC90 COE90 DEBC,9.如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点,PDOA于D,PEOB于E,F是OC上的另外一点,连接DF、EF.求证:DFEF.,(提示:分两步证明: 证明OPDOPE; 证明OFDOFE),9.如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点,PDOA于D,PEOB于E,F是OC上的另外一点,连接DF、EF. 求证:DFEF.,证明:OC是AOB的平分线,PDOA,PEOBPDPB在RtOPD和RtOPE中,RtOPDRtOPE(HL),ODOE,又OC是AOB的平分线 DOFEOF,在OFD和OFE中,OFDOFE(SAS),DFEF,10.如图,在ABC中,AB2AC,AD平分BAC且ADBD.求证:CDAC.,(提示:过点D作DEAB于E分两步证明:ADEBDE;ADEADC),10.如图,在ABC中,AB2AC,AD平分BAC且ADBD.求证:CDAC.,证明:过点D作DEAB于EAEDBED90在RtADE和RtBDE中,RtADERtBDE(HL),AEBE,即 AB2AE 又AB2AC AEAC,AD平分BAC EADCAD,在ADE和ADC中,ADEADC(SAS),CAED90,CDAC,课堂总结,学习全等三角形应注意以下几个问题:,(1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;,(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;,(3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;,(4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,
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