第2课时 等比数列的性质及应用,1.理解等比数列的函数特性. 2.掌握等比中项的定义,能够运用等比中项的定义解决问题. 3.在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能灵活运用公式解决相应的实际问题.,1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么G叫作 a与b的等比中项.根据等比数列的定义，,【做一做1-1】 已知等比数列an,a2 015=a2 017=-1,则a2 016等于( ). A.-1 B.1 C.1 D.以上都不对 答案:C,【做一做1-2】 方程x2-5x+4=0的两根的等比中项是 ( ).,解析:设方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系,得x1x2=4. 所以两根的等比中项为 答案:B,2.等比数列的性质 (1)an=amqn-m(m,nN+). (2)若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则aman=apaq. (3)若数列an是公比为q的等比数列,则数列an(为不等于0的常数)是公比为q的等比数列;,数列|an|是公比为|q|的等比数列; 若数列bn是公比为q的等比数列,则数列anbn是公比为qq的等比数列. (4)在数列an中每隔k(kN+)项取出一项,按原来的顺序组成新数列,则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.,(5)数列an是各项均为正数的等比数列时,数列lg an是公差为lg q的等差数列. (6)当m,n,p(m,n,pN+)成等差数列时,在等比数列an中,am,an,ap成等比数列. (7)等比数列中的任意一项均不为0,即an0.,【做一做2】 在等比数列an中,若an0,且a3a7=64,则a5的值为( ). A.2 B.4 C.6 D.8,答案:D,3.等比数列的分类 (1)当q1,a10或01,a10时,等比数列an是递减数列. (3)当q=1时,等比数列an是常数列. (4)当q1时,an为递增数列 B.当00成立 D.当nN+时,anan+2an+40成立 解析:易知A,B不正确;不论q0或q0成立,C正确. 答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一 等比数列的性质及应用 【例1】 已知an为等比数列. (1)若an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值; (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列an的通项公式.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解题法,往往是建立关于a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本题可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 在等比数列an中,若a2=2,a6=162,试求a10. 解:a6=a2q4,且a2=2,a6=162, q4=81.a10=a6q4=16281=13 122.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型二 等比中项问题,(2)在两个数a,b(ab0)之间插入三个数,使它们成等比数列,则正中间的一个数是 .,题型一,题型二,题型三,题型四,反思对于等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,an是an-1与an+1的等比中项,即 . 运用等比中项解决问题,会大大减少运算量.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型三 等比数列的实际应用 【例3】 从盛满a L(a1)纯酒精的容器中倒出1 L纯酒精,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去第n次操作后酒精的浓度是多少?若a=2,至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%? 分析:本题考查了等比数列的实际应用,每次加水后,酒精浓度构成一个等比数列.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思现实生活中有很多等比数列的模型,如银行利率、企业利润、人口增长等.一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数,那么该模型为等比数列模型,变化后的量与变化前的量的比即为公比.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 浓度为a%的酒精一满瓶共m L,每次倒出n L(n1,若a2 013和a2 014是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 017+a2 018= .,答案:162,1,2,3,4,5,5设数列an是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式. 分析:需由已知条件求出公比q和某一项,再求通项公式.,