1,第七章 无穷级数,2,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，,如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？,3,第一节 无穷级数的概念,无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,4,1、级数的定义：, (常数项)无穷级数,通项,级数的前 n 项部分和数列,5,2、级数的收敛与发散：,定义,(设极限为S ) ，,则称该无穷级数收敛，,且称 S 为该级数的和，并记为,6,解,例1,讨论无穷级数,的收敛性.,所以级数收敛，且和为 1。,7,解,例2,所以级数发散.,所以,8,解,收敛,发散,例3,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,9,发散,发散,综上所述，,10,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一,千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？“,11,假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！,12,如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破。,设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路，乌龟又向前爬了10米，依次类推，阿基里斯需要追赶的全部路程为,13,思考题：还有没有其他方法解此题？,这里已经假定可以追上。,14,解,例4,小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。,15,循环小数转化为分数的方法：,第一型：,16,例如：,17,第二型：,18,例如：,19,第二节 无穷级数的基本性质,也收敛，且有,性质1,证,20,说明：,证,矛盾.,21,性质2,证,22,23,性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性.,这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。,注意：原级数若收敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和.,24,性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.,证,例如，,25,证,性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论 发散级数去括号仍发散。,例如,26,性质5 (级数收敛的必要条件),证,27,说明：,1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；,级数发散；,级数发散。,28,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,调和级数增加的速度非常缓慢，例如,那么调和级数到底的收敛还是发散？,调和级数,30,证明：调和级数发散。,于是,矛盾，,调和级数,假设调和级数收敛，其和为 S ，,所以级数发散。,证,因为,进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。,这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。,调和级数,32,例1 判断下列级数的敛散性：,故原级数收敛，,解,且和为,33,收敛；,发散。,例1 判断下列级数的敛散性：,34,第三节 正项级数,1、定义：,这种级数称为正项级数。,2、正项级数收敛的充要条件：,定理,(一) 正项级数的收敛问题,35,(二)比较判别法,证明,定理,(1),36,(一)比较判别法,证明,(2)是(1)的等价命题。,注：定理的条件可放宽为：,定理,37,解,例1,所以原级数收敛.,38,解,例2,故原级数发散；,于是有,39,所以,于是,40,重要参考级数：几何级数，p - 级数，调和级数。,比较：,41,解,例3,例4,解,所以原级数发散。,所以原级数收敛。,42,比较判别法的极限形式：,43,证明,44,可知两级数有相同的敛散性。,45,证明,由比较判别法可知，,(注意：单向),由(2)即得结论。,46,例5,例6,所以原级数发散。,所以原级数收敛。,解,解,47,例7,例8,发散,解,所以原级数发散。,解,所以原级数收敛。,48,常用等价无穷小：,49,解,例1,所以原级数收敛.,50,例9,解,51,例10,收敛，,解,所以原级数收敛。,52,例11,所以原级数收敛。,53,例12,解,所以原级数收敛。,所以原级数发散。,54,证,例13,由基本不等式,55,(三)比值判别法 (达朗贝尔比值判别法),证略,56,例14 判别级数下列级数的敛散性,所以级数收敛。,解,解,所以级数收敛。,57,解,解,所以级数发散.,所以级数收敛.,58,解,练习：,所以级数收敛。,59,解,所以用比值法无法判断.,用比较法，,所以原级数收敛。,60,例15,解,61,(四)根值判别法 (柯西根值判别法),证略,62,例16,解,所以级数收敛.,例17,解,所以级数收敛.,63,解,例18,级数发散。,64,第四节 任意项级数，绝对收敛,定义：正、负项相间的级数称为交错级数。,定理(莱布尼茨判别法),称莱布尼茨型级数,如果交错级数 满足条件,(一)交错级数,证,另一方面，,由条件(2)可知，,即原级数收敛，,由条件(1)可知，,66,注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件。,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数 满足条件,67,例19,解,这是交错级数，,由莱布尼茨定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错 p - 级数.,所以级数收敛。,证明级数 收敛。,68,解,由莱布尼茨定理知级数收敛。,练习,69,(二)任意项级数的绝对收敛与条件收敛,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数。,定理：,绝对收敛必收敛。,70,证明,定理：,71,说明：,(1) 定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；,72,这是因为它们的依据是,说明：,73,例20 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散.,解,故原级数绝对收敛.,解,故级数绝对收敛.,74,解,故级数发散.,解,所以原级数绝对收敛。,75,例21,解,76,例22,解,即原级数非绝对收敛;,77,由莱布尼茨定理， 此交错级数收敛，,故原级数条件收敛,78,例23,解,而原级数为莱布尼兹级数，故收敛，即条件收敛。,79,例24,解,所以级数发散；,故级数绝对收敛；,80,小结：判定数项级数敛散性的思路：,81,第五节 幂级数,(一)幂级数及其收敛半径和收敛域,1、幂级数的定义,级数,称为关于 x 的幂级数。,82,2、幂级数的收敛半径和收敛域,83,证,定理 (阿贝尔Abel定理),84,由正项级数的比较判别法知,证,85,由(1)结论,几何说明：,收敛区域,发散区域,发散区域,这与所设矛盾.,86,此时正数 R 称为幂级数的收敛半径.,规定,问题：如何求幂级数的收敛半径?,（2）在整个数轴上收敛；,87,定理,直接地讲，就是,88,证,89,证毕.,90,求下列幂级数的收敛半径和收敛域。,例1,解,发散；,收敛。,91,求下列幂级数的收敛半径和收敛域。,例1,一般，,92,解,收敛半径,端点处：,收敛；,发散；,例2,93,解,收敛半径,端点处明显发散，,例3,94,例4,解,例5,解,95,发散；,发散，,故收敛域为 (-1, 3) .,例6,解,96,缺少偶次幂的项,级数收敛；,例7,解,直接应用比值判别法，,级数发散；,97,级数收敛，,所以原级数的收敛域为,级数收敛；,级数发散；,98,(二)幂级数的性质,幂级数的加减法：,加法：,减法：,99,幂级数和函数的分析性质,100,且收敛半径仍为R.,(2) 逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。,101,注：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛。,且收敛半径仍为R.,102,解,例8,收敛半径,端点处明显发散，,103,解,例8,所以,两边从 0 到 x 积分,104,(1),解,逐项求导,所以,例9 求下列幂级数的收敛域及和函数：,105,(2),解,收敛半径,106,(3),解,107,简便写法：,解,(3),108,(4),解,109,第六节 泰勒公式与泰勒级数,(一)泰勒公式,110,不足：,问题：,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,111,分析：,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,112,n 阶接触,113,拉格朗日型余项,114,证明：,且,115,116,则由上式得,证毕,117,118,此时泰勒公式称为麦克劳林公式。,麦克劳林(Maclaurin)公式,119,(二)泰勒级数,定义,的泰勒级数。,的麦克劳林级数。,120,第七节 某些初等函数的幂级数展开式,问题：,2. 如果能展开，怎么展开?,3. 展开式是否唯一?,1. f (x) 在什么条件下才能展开成幂级数?,与求和函数的相反问题：求幂级数，在其收敛域内以 f (x) 为和函数函数的幂级数展开。,121,上式两端逐项求导，得,122,且展开式是唯一的。,123,证,由泰勒公式,直接获证。,124,(一)直接展开法(泰勒级数法),步骤：,先讨论展开成麦克劳林级数。,2、写出幂级数 ，并求其收敛域 D.,如果是，则 f (x)在 D 上可展开成麦克劳林级数,125,例1,解,对任意固定的 x,由比值法，,126,对任意固定的 x,由比值法，,即证得,127,128,例2,解,129,130,例3,收敛域为：,( 不为正整数),推导略,131,特别,双阶乘,132,133,(二)间接展开法,间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已知展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法，求出函数的幂级数展开式。,134,利用逐项求导公式，得,例4,解,根据已知展开式,135,例5,解,两边从 0 到 x 积分，得,136,例6,解,两边从 0 到 x 积分，得,137,例7,解,所以,138,所以,例8,解法1,注意,两边从 0 到 x 积分，得,139,例8,解法2,140,常用的函数幂级数展开式,141,( 不为正整数),142,例9,解,143,例10,解,144,例11,解,两边逐项求导，得,145,以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：,