组长签字： 日期： 学员编号：学员编号： XCASTXCAST 年年 级：九年级级：九年级 课时数：课时数：3KS3KS 学员姓名：学员姓名： 辅导科目：数学辅导科目：数学 学科教师：学科教师： 授课日期及时段授课日期及时段2016-122016-12 -31-3117:00-19:0017:00-19:00九年级 圆的性质及与圆有关的位置关系教学目标教学目标一圆的有关概念及性质1.弦、直径及垂径定理 2.弧、弦、圆心角之间的关系 3.圆周角与圆心角的关系二与圆有关的位置关系1.直线与圆的位置关系、切线的性质和判定 2.点与圆的位置关系学习内容学习内容知识梳理知识梳理一、圆的有关概念及性质一、圆的有关概念及性质（1 1）圆的有关概念）圆的有关概念1.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆周角，它的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 其性质有：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径90推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等FE BACDO所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等所对的两条弦的弦心距相等注意： 前提条件是在同圆或等圆中； 在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等1. 垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）推论 1： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 （3）推论 2：圆的两条平行线所夹的弧相等 注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、 “平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第222( )2ardard三个量ra2dOCBA二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离 与半径的大小关系决定 （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；OrPOddrdr 点在圆内.如下表所示：dr位置关系图形定义性质及判定EODCBA点在圆外Pr O点在圆的外部点在的外部.drPO点在圆上Pr O点在圆上点在上.drPO点在圆内PrO点在圆的内部点在的内部.drPO2.过已知点的圆1. 过已知点的圆（1）经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这AAOOAA 样的圆有无数个 （2）经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过AB、ABOOA 点的圆，这样的圆也有无数个AB、 （3）过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心ABC、ABC、 是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个ABBCO（4）过个点的圆：只可以作个或 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的n4n 01圆的圆心2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”（3 3） 三角形的外接圆及外心三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点， 叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外 接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离 相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形 却有无数个，这些三角形的外心重合.三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系（1 1）直线与圆的位置关系）直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线 的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点直线 与相离drlO相切 lO dr直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点直线 与相切drlO相交 lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线直线 与相交drlO（2 2）切线的性质及判定）切线的性质及判定1. 切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则ABABMABl 过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点ABABlABM 过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心ABlABMAB2. 切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论 是“直线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此 半径垂直；作垂直，证垂直在圆上OOOAAAlll3. 切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长MBOlA（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边 形3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbacbaOFEDCBACBACBA设、分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中abcABCABCSsrp若，则 1 2pabc90C1 2rabc例题讲解例题讲解考点一考点一 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质（1 1）圆周角与圆心角圆周角与圆心角例 1.如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC。若BAC 与BOC 互补，则弦 BC的长为_.例 2.如图,经过原点O的P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则ACB=_. 例 3.如图，已知 AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44o，则CAD 的度数为_.变式训练变式训练1.(2016 南宁)如图，点 A，B，C，P 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为 D，E，DCE=40，则P 的度数为_.2.如图,O 是ABC 的外接圆,连接 OA、OB,OBA=50O,则C 的度数为( ) 3、如图，点 p 是四边形 ABCD 外接圆O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD是O 的直径，AB=BC=CD，连接 PA,PB,PC，若 PA=a，则点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AE+AF=_ 。（2 2）垂径定理垂径定理例 1、已知O 的半径等于 5cm，弦 AB=6cm,CD=8cm,且 AB/CD,则 AB、CD 之间的距离为 _.例 2、如图，O 的半径是 2，直线 与O 相交于 A、B 两点，M、N 是O 上的两个动点，且在直线 的异侧，若AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是（ ）例 3、2012 烟台如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，CFAF，且CFCE（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若，求的值 ABCCBDS S（3 3）圆的内接四边形圆的内接四边形例 1.如图，四边形 ABCD 内接于O，DAB=130O，连接 OC。点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP、BP，则BPD 可能为_度。（写出一个即可）对应训练对应训练1.如图，在 RTABC 中，ABC=90O，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作O 分别交AC，BM 于点 D，E。求证：MD=ME。（4 4）三角形的外接圆及圆的内接多边形三角形的外接圆及圆的内接多边形例 1.设 I 为ABC 的外心,若BIC=100O,则A 的度数是_例 2.如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中,CAD=35O，则B+E=_.（5 5）与相似的综合与相似的综合例 1.如图，已知 AD 是ABC 的角平分线，O 经过 A、B、D 三点，过点 B 作 BE/AD，交O 于点 E，连接 ED。（1）求证：ED/AC;（2）若 BD=2CD，设EBD 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，且 S12-16S2+4=0,，求ABC 的面积。考点二考点二 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系(1)切线的性质例 1.如图, AB是O直径,点 C在O上, AE是O的切线, A为切点,连接 BC并延长交 AE于点 D.若AOC=80,则ADB的度数为( )例 2 如图所示，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。若B=25O，则C 的大小等于（ ）。对应训练对应训练1.如图，PA、RB 分别切O 于点 A、B，若P70，则C 的大小为_度.2.如图,AB 为O 的直径,直线 l 与O 相切于点 C,垂足为 D,AD 交O 于点 E,连接 OC、BE.若,则线段 DC 的长为_.（2 2）切线长定理）切线长定理例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,AD=5，AD、AB、BC 分别与O 相切于 E、F、G 三点，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 M，切点为