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1,第2章 信号,2.1 信号的类型 2.1.1 确知信号和随机信号 什么是确知信号 什么是随机信号 2.1.2 能量信号和功率信号 信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 信号的能量:设S代表V或I,若S随时间变化,则写为s(t),于是,信号的能量 E = s2(t)dt 能量信号:满足 平均功率: ,故能量信号的P = 0。功率信号:P 0 的信号,即持续时间无穷的信号。 能量信号的能量有限,但平均功率为0。 功率信号的平均功率有限,但能量为无穷大。,2,2.2 确知信号的性质,2.2.1频域性质 功率信号的频谱:设s(t)为周期性功率信号,T0为周期,则有式中,0 = 2 / T0 = 2f0 C(jn0)是复数, C(jn0) = |Cn|ejn式中,|Cn| 频率为nf0的分量的振幅;n 频率为nf0的分量的相位。 信号s(t)的傅里叶级数表示法:,3,【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解:设一周期性方波的周期为T,宽度为,幅度为V 求频谱:,4,频谱图,5,【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解:设此信号的表示式为求频谱:信号的傅里叶级数表示式:,6,能量信号的频谱密度设一能量信号为s(t),则其频谱密度为:S()的逆变换为原信号:【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。解:设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换:,7,【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解:抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为:和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同,而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。【例2.5】试求单位冲激函数及其频谱密度。解:单位冲激函数常简称为函数,其定义是:(t)的频谱密度:,8,Sa(t)及其频谱密度的曲线:函数的物理意义:高度为无穷大,宽度为无穷小,面积为1的脉冲。 用抽样函数Sa(t)表示函数:Sa(t)有如下性质当 k 时,振幅 ,波形的零点间隔 0,故有,9,函数的性质 对f(t)的抽样: 函数是偶函数: 函数是单位阶跃函数的导数:能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱C(jn0)的区别: S(f ) 连续谱; C(jn0) 离散谱 S(f )的单位:V/Hz; C(jn0) 的单位:V S(f )在一频率点上的幅度无穷小。,10,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。解:设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t,则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算,可以写为参照式(2.2-19),上式可以改写为引入(t),就能将频谱密度概念推广到功率信号上。,11,能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E,则其能量由下式决定:若此信号的频谱密度,为S(f ),则由巴塞伐尔定理得知:上式中|S(f )|2称为能量谱密度,也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为:式中,G(f )|S(f)|2 (J / Hz) 为能量谱密度。 G(f )的性质:因s(t)是实函数,故|S(f )|2 是偶函数,,12,功率谱密度令s(t)的截短信号为sT(t),-T/2 t T/2,则有定义功率谱密度为:得到信号功率:对于周期性信号:,13,2.2.2 时域性质 自相关函数 能量信号的自相关函数定义:功率信号的自相关函数定义:性质: R()只和 有关,和 t 无关 当 = 0时,能量信号的R()等于信号的能量;功率信号的R()等于信号的平均功率。,14,互相关函数 能量信号的互相关函数定义:功率信号的互相关函数定义:性质: 1. R12()只和 有关,和 t 无关; 2. 证:令x = t + ,则,15,2.3 随机信号的性质,2.3.1 随机变量的概率分布 随机变量的概念:若某种试验A的随机结果用X表示,则称此X为一个随机变量,并设它的取值为x。例如,在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 随机变量的分布函数: 定义:FX(x) = P(X x) 性质: P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a), P(a X b) = FX(b) FX(a),16,离散随机变量的分布函数: 设X的取值为:x1 x2 xi xn,其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn,则有P (X x1) = 0, P(X xn) = 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),性质:FX(- ) = 0FX(+) = 1若x1 x2,则有: FX(x1) FX(x2) ,为单调增函数。,17,连续随机变量的分布函数:当x连续时,由定义分布函数定义FX(x) = P(X x) 可知, FX(x) 为一连续单调递增函数:,18,2.3.2 随机变量的概率密度 连续随机变量的概率密度pX (x) pX (x)的定义:pX (x)的意义: pX (x)是FX (x)的导数,是FX (x)曲线的斜率 能够从pX (x)求出P(a 0, a = 常数 概率密度曲线:,21,均匀分布随机变量 定义:概率密度式中,a,b为常数 概率密度曲线:,22,瑞利(Rayleigh)分布随机变量 定义:概率密度为式中,a 0,为常数。 概率密度曲线:,23,2.5 随机变量的数字特征,2.5.1 数学期望 定义:对于连续随机变量 性质:若X和Y互相独立,且E(X)和E(Y)存在。,24,2.5.2 方差 定义:式中, 方差的改写:证: 对于离散随机变量, 对于连续随机变量, 性质: D( C ) = 0 D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn),25,2.5.3 矩 定义:随机变量X的k阶矩为k阶原点矩:a = 0时的矩:k阶中心矩: 时的矩:性质:一阶原点矩为数学期望:二阶中心矩为方差:,26,2.6 随机过程,2.6.1 随机过程的基本概念 X(A, t) 事件A的全部可能“实现”的总体; X(Ai, t) 事件A的一个实现,为确定的时间函数; X(A, tk) 在给定时刻tk上的函数值。 简记: X(A, t) X(t)X(Ai, t) Xi (t) 例:接收机噪声 随机过程的数字特征: 统计平均值:方差: 自相关函数:,27,2.6.2 平稳随机过程 平稳随机过程的定义:统计特性与时间起点无关的随机过程。(又称严格平稳随机过程) 广义平稳随机过程的定义:平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 广义平稳随机过程的性质:严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是,广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,28,2.6.3 各态历经性 “各态历经”的含义:平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 各态历经过程的特点:可用时间平均值代替统计平均值,例 各态历经过程的统计平均值mX:各态历经过程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历经性,则它必定是严格平稳随机过程。但是,严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,29,稳态通信系统的各态历经性:假设信号和噪声都是各态历经的。 一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量; 一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率; 二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率; 二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的 均方根值(有效值); 二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率; 若mX = mX 2 = 0,则X2 = E X 2( t ) ; 标准偏差X 是信号交流分量的均方根值; 若mX = 0,则X就是信号的均方根值 。,30,2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 自相关函数的性质功率频谱密度的性质 复习:确知信号的功率谱密度: 类似地,平稳随机过程的功率谱密度为:平均功率:,31,自相关函数和功率谱密度的关系由式中,令 =t t,k =t + t,则上式可以化简成 于是有,32,上式表明,PX(f )和R( )是一对傅里叶变换:PX(f )的性质: PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。PX(f ) PX(-f ),即PX(f )是偶函数。 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t),如图所示,其振幅为+a或-a;在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中,是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。 试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,33,解:由图可以看出,乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值:a2, 或 -a2。因此,式 可以化简为:R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中,“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化,则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化,则出现 - a2。因此,用 代替泊松分布式中的T,得到,34,由于在泊松分布中 是时间间隔,所以它应该是非负 数。所以,在上式中当 取负值时,上式应当改写成将上两式合并,最后得到:其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R( )的傅里叶 变换求出: P( f )和R()的曲线:,35,【例2.8】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R()。解:功率谱密度P( f )已知, 式中,自相关函数曲线:,36,【例2.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。解:白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声,即Pn( f ) n0/2式中,n0为单边功率谱密度(W/Hz)白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得:由上式看出,白噪声的任何两个相邻时间(即 0时)的抽样值都是不相关的。白噪声的平均功率 :上式表明,白噪声的平均功率为无穷大。,37,带限白噪声的功率谱密度和自相关函数 带限白噪声:带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱密度:设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间,则有Pn(f) = n0 / 2, -fH f fH= 0, 其他处其自相关函数为:曲线:,38,2.7 高斯过程(正态随机过程),定义: 一维高斯过程的概率密度:式中,a = EX(t) 为均值2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 高斯过程是平稳过程,故其概率密度pX (x, t1)与t1无关,即, pX (x, t1) pX (x) pX (x)的曲线:,
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