力的功, 动能定理与机械能守恒, 功率、功率方程、机械效率, 讨论, 动能,第12章 质点系动能定理, 动力学普遍定理的综合应用,6. 刚体平面运动的微分方程,刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。 这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体平面运动的微分方程：,其投影式为：,或：,应用动量矩定理时, 一般情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系)为矩心，或取矩轴；若运动过程中，质心与速度瞬心间的距离始终保持不变，则可以瞬心为矩心建立动量矩定理。, 动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。, 对于定轴问题，系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。, 计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 右手定则。, 总结,一、常力的功,是力F与位移之间的夹角。,功的单位为焦耳（J）， 1J=1Nm, 力的功定义,二、变力的元功,将F与dr投影到直角坐标轴上：,在一无限小位移中力所做的功称为元功，以 表示,质点M 受n个力 作用合力为 则合力 的功,即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。,3. 平面运动刚体上力的功,刚体平动时:,刚体定轴转动时:,当 Mz为常力偶矩时，有:,当力偶矩与转角同向时作正功，异向时作负功。,刚体平面运动时:,刚体的平面运动分解为随质心C的平动与绕通过质心的轴的转动,平面运动刚体上力的功，等于力向质心 简化所得的力和力偶作功之和(计算方法)。,重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关., 重力的功,质点沿轨迹由M1运动M2到，其重力 在直角坐标轴上的投影为,对于质系:,重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。,由此可得,由质心坐标公式，有,(2)、弹性力的功,弹性力的功也与路径无关,万有引力定律为:,则，万有引力的功为:, 万有引力的功,刚体：,变形体：,(3)、内力的功,光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、刚性连接， 等约束的约束力作功等于零。,(4)、约束力的功,约束力作功等于零的约束为理想约束。,正压力N，摩擦力F作用于瞬心C处，而瞬心的元位移,(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功,摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功,N=常量时, W= fN S, 与质点的路径有关。, 质点系的动能,质点系的动能,动能 (kinetic energy) 是度量质点或质点系整体运动效应的 特征量之一。,质点的动能,1) 平移刚体的动能 刚体各点的速度相同，可以用质心的速度表示,平移刚体的动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能。, 质点系的动能,2) 定轴转动刚体的动能,定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。,当刚体绕固定轴Z转动时，其上任一点的速度为, 质点系的动能,刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心 并与运动平面垂直的轴的转动，动能可写为,3) 平面运动刚体的动能,平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与相对于质心平移系的转动动能之和。,例 ：动能计算,一 质点的动能定理,12-2 动能定理,质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功,质点从某一位置运动到另一位置，其动能改变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功,二 质点系的动能定理,质点系动能定理的微分形式： 质点系动能的增量，等于作用于 质点系全部力所作的元功的和。,质点系动能定理的微分形式： 质点系动能的增量,等于作用于质点系全部主动力和非理想约束力所作的元功的和。,例：两均质圆轮如图所示，在重物C的作用下，轮A与水平面间只滚不滑，求重物C由静止开始下降了距离h时A轮质心的加速度aA。,解：,研究整体，不要拆开；,只画主动力，不画约束反力；,根据各部分的运动形式，写出系统初始和末了的动能T1和T2；,系统初始静止，,将动能整理成同一个运动参数的函数，即建立各运动参数间的关系：,计算系统在整个运动过程中所有力所作的功；,代入动能定理：,此式即可求出vA，要求加速度aA，直接将此式对时间 t 求一阶导数即可：,而,即为所求轮心A的加速度。,讨论：,等效质量,等效力,动能定理的最后表达式一般为：,求一阶导数后即为加速度，一般具有如下形式：,作业：12-2，3,4. 质点系动力学普遍定理的综合应用,4、动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。,5、注意综合应用。,一、正确掌握各定理特征：,1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关；,2、动量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质;,3、动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质；,二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：,1、如果给出了系统的始末位置，求v、a、，而不涉及约束反力时，用动能定理；（若涉及反力，也可先由动能定理求出v、a、，后用其他方法求反力）,2、求反力或绳子内力用质心运动定理；,3、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；,4、对平面运动刚体可用平面运动微分方程；,求：1、圆轮滚动到任意位置 时，质心的加速度； 2、圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因数。,半径为r的均质圆轮，在倾角 的斜面上，从静止开始向下作无 滑动的滚动。,练习题：,解：受力分析,1、圆轮质心加速度 :,Wmg圆轮所受重力； F 滑动摩擦力； FN 斜面约束力。,根据平面运动微分方程,圆轮作平面运动，,根据圆轮作纯滚动的条件,aC =r,2、圆轮在斜面上不发生滑动 所需要的最小摩擦因数:,纯滚动时，滑动摩擦力一般小于最大静摩擦力 FN fs,