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1有理数有理数考点考点 1、正数和负数、正数和负数正数:大于零的数正数:大于零的数负数:小于零的数(在正数前面加上负号负数:小于零的数(在正数前面加上负号“”的数)的数) 注意:(注意:(1)0 既不是正数也不是负数,它是正负数的分界点既不是正数也不是负数,它是正负数的分界点 (2 2)对于正数和负数,不能简单理解为带)对于正数和负数,不能简单理解为带“+”“+”号的数是正数,带号的数是正数,带“”号的数是负数号的数是负数 例 1、向北走 2000 米与向南走 1000 米,若规定向北走为正,则向北走 2000 米可记作 ,向南走 1000 米记作 ,原地不动课记作 例 2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为 85 分,一名同学以平均成绩为标准, 超过平均分记正,将五名同学的成绩分别记作15 分,4 分,0 分,4 分,15 分。这五名同学 的实际成绩分别是多少分? 例 3、观察下面依次排列的一列数,请接着写出后面的数,你能说出第 15 个、第 101 个、第 2010 个的 数是什么? 1) 、1、2、+3、4、5、+6、7、8、 、 、 2) 、1、3、5、7、 、 、 21 41 61 81易错点: 1)误认为凡带正号的数就是正数,误认为凡带负号的数就是负数例:a 一定是正数吗? 2)对于“0”的含义理解不准确 例:下列说法错误的是( ) A、0 是自然数 B、0 是整数 C、0 是偶数 D、海拔 0 米表示没有海拔 考点考点 2、有理数、有理数 1、有理数的分类、有理数的分类按定义分:按定义分: 按性质符号分:有理数按性质符号分:有理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0注意:注意:1、有理数只包括整数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。、有理数只包括整数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。2、0 是整数不是分数是整数不是分数 例 1、把下列各数填在相应的集合内:,-3,2,-1,-0.58,0,-3.14,0.618,1041913整数集合: 分数集合: 非负数集合: 例 2、下列说法正确的是( ) A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数22、数轴(重点)、数轴(重点) 定义:规定了原点、正方向、单位长度的直线定义:规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义:数轴的含义: (1 1)数轴是一条直线,可以向两边无限延伸)数轴是一条直线,可以向两边无限延伸 (2 2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可 (3 3)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是 根据实际需要规定的。根据实际需要规定的。 (4 4)同一数轴的单位长度必须一致)同一数轴的单位长度必须一致例 1、图中哪 一个表示数轴?并说出理由。例 2、请画出一条数轴,并且在数轴上标出下面的有理数:3,-2,-3.5,0,+2,0.5.23例 3、如图所示,在数轴上,点 A,B,C,D 依次表示 1.5,-2,2,-2.5。说出各点与原点的位置关系以及与 原点的距离是多少个单位长度?1.5CAB-2.5D-3-2-13210例 4、如图,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点表示的数为( )A A、30 B、50 C、60 D、80例 5、如图,数轴的一部分被墨水污染,被污染的部分内含有的整数为_例 6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上,文具店位于书店西边 20m 处,玩 具店位于书店东边 100m 处。小明从书店沿街向东走了 40m,接着又向东走了 60m,你知道此时小明的位 置在哪吗?例 7、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,求的值cc bb aaab0c31、 相反数(重点) 定义:只有符号不同符号不同的两个数叫做相反数相反数。 (在数轴上分别位于原点的两侧,到原点的距离相等的两个点 所表示的数叫做互为相反数。 ) 相反数的表示方法及多重符号的化简:(1) 0a, 00a, 00, 0则当则当则当aaaa例 1、有理数的相反数是( )31(A) (B) (C)3 (D) 331 31例 2、a 的相反数是 , -a 的相反数是 , 0 的相反数是 例 3、若 a 和 b 互为相反数,则 a+b=例 4、如果0ba,那么a,b两个实数一定是 ( )A.都等于 0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数例 5、如果a与 1 互为相反数,则|2|a等于( )A2B2C1D1 4、绝对值(难点)、绝对值(难点) 绝对值的定义:绝对值的定义:数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记为 a,读作:a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离,所以一个数的绝对值不可能是负数。即:任何数的绝对值都是正数(0 的绝对值是 0)绝对值的代数定义:1)一个正数的绝对值是它本身2)一个负数的绝对值是它的相反数3)0 的绝对值是 0 绝对值的计算规律:(1)互为相反数的两个数的绝对值相等(2)若,则 a=b 或 a=-b;ba (3)若0, 0, 0baba则例 1、如果| -a | = -a,下列成立的是( )A .a0 D.a0例 2、 的绝对值是 8。例 3、若,则 b= ,若 ,若,则 a 011 baa则, 06aa例 4、若,则等于( )5, 3babaA、2 B、8 C、2 或 8 D、81 或4例 5、已知0122bab(1) 求 a,b 的值(2) 求的值2008 2008 2ab(3) 求 200820081 221 1111 bababaab例 6、计算: 991 1001 31 41 21 31121例 7、 (2)27213521354 543例 8、根据,解答下列问题0a(1)当 x 为何值时, 有最小值?最小值是多少?2x(2)当 x 为何值时, 有最大值?最大值是多少?43 x5例 9、已知某零件的标准直径是 10mm,超过规定直径长度的数量(单位:mm)记作正数,不足规定直径 长度的数量(单位:mm)记作负数,检验员某次抽查了 5 件样品,检查的结果如下表:序号12345 直径长度 (mm)+0.1-0.15+0.2-0.05+0.25(1)试指出哪件样品的大小最符合要求; (2)如果规定偏差的绝对值在 0.18mm 之内是正品,偏差的绝对值在 0,18mm0.22mm 之间是次品, 偏差绝对值查过 0.22mm 是废品,那么上述 5 件样品中,哪些是正品,哪些是次品,哪些是废品?易错点:1)画数轴时,缺少要素2)误认为,则 a0;若,则 a0,n|n|,用“”把、连接起来。mmnn考点考点 3、有理数的加减(重难点)、有理数的加减(重难点) 1、有理数加法、有理数加法 (1)同号两数相加,取相同的符号,并把其绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得零;6(4)一个数与零相加,仍得这个数。例例 1、如果两个有理数的和是正数,那么这两个数( ) 。 A.都是正数 B.一个是正数,一个是零 C.两个数异号,且正数的绝对值较大 D.以上三种情况都有可能 例例 2、简单计算、简单计算(1); (2); (3); (4)134.52 4.56.7 2517512 1313 (5) (-51)+(+37) ; (6) (+15)+(-15) ; (7) (+4.25)+; (8)114114233 (9)15+0 ;(10)-4.7+0 ;(11)0+0例例 3、复杂有理数计算、复杂有理数计算(1) (+26)+(-14)+(-16)+(+18) (2)1125.5233)75()65()72(61)3( 67 314213)4( 5116(5)2.391.573527.61321.576767 7例 4、已知与互为相反数,求的值。132x122yxy例 5、小明在一条南北方向的公路上散步,他从 A 地出发,每 10 分钟记录自己的散步情况(向南为正方 向,单位:米) ,1 小时后停下来时记录如下: -1008,1100,-976,1010,-827,946 此时他在 A 地的什么方向,距离 A 地多远?小明散步共走了多少米?例 6、a 与 b 互为相反数,b 与 c 相乘的积是最大的负整数,d 与 e 的和等于-2,则edbcbabc的值是多少?例 7、读一读:式子“1+2+3+4+5.+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和,由于上述式子比较长,书写不方便,为简单起见,我们可以将“1+2+3+4+5.+100”表示为,这是求和符号。例如 1001nn“1+3+5+7+9+.+99” (即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和)可表示为。通过对以上材料 501) 12(nn的阅读,请回答问题:(1)2+4+6+8+.+100(即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和求和符号表示为_;(2)计算:_(填写最后的计算结果) 。 313nn8例 8、从图(1)中找规律,并在图(2)填上合适的数2、有理数减法、有理数减法有理数减法法则中,字母 a,b 表示任意有理数;0 减去任何数得这个数的相反数。有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算,不要将减法法则与加法法则中异号两数相加混淆。计算有理数的减法时,要把减号变为加号,把减数变为它的相反数,即必须同时改变两个符号:一是运算符号由“-”变为“+” ;二是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。例 1、下列说法正确的是( )A.两数相减,被减数一定大于减数B.0 减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为 0D.减去一个正数,差一定小于被减数例 2、计算:(1
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