第三章 线性规划在工商管理中的应用,1 人力资源分配的问题 2 生产计划的问题 3 套裁下料问题 4 配料问题 5 投资问题,1 人力资源分配的问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,1 人力资源分配的问题,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,1 人力资源分配的问题,例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,1 人力资源分配的问题,解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0,2 生产计划的问题,例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。公司中可利用的总工时为：铸造8000h，机械加工12000h和装配10000h。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,2 生产计划的问题,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。,2 生产计划的问题,通过以上分析,可建立如下的数学模型: 目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 80006x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 0,2 生产计划的问题,例4永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,2 生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t. 5x111 + 10x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,2 生产计划的问题,目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123). 经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,3 套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解： 列出所有的下料方案，见下表,设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分别为上面 8 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6+ x7+ x8约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 1002x3 + 2x4 + x5 +x6+ 3x7 1003x1 + x2 + 2x3 + 3x5 +x6+ 4x8 100x1,x2,x3,x4,x5 0,用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即 x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。,3 套裁下料问题,4 配料问题,例6某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲： x11，x12，x13；对于乙： x21，x22，x23；对于丙： x31，x32，x33；对于原料1： x11，x21，x31；对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。,4 配料问题,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有 目标函数 Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23),4 配料问题,从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：,4 配料问题,例6（续） 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件：s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x12+ x22 + x32 100 (供应量限制）x13+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 配料问题,例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？,4 配料问题,解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。目标函数为飞机汽油1的总产量：,库存量约束为：,产量约束为飞机汽油2的产量：,由物理中的分压定律， 可得有关蒸汽压力的约束条件：,同样可得有关辛烷数的约束条件为：,4 配料问题,综上所述，得该问题的数学模型为：,4 配料问题,由管理运筹学软件求解得：,5 投资问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,