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12016 年中考数学二次函数综合题练习【二次函数中新定义问题】1、在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y)和 Q(x,y),给出如下定义:如果如果,那么称点,那么称点 Q 为点为点 P 的的“关联点关联点” 00yxyyx例如:点(5,6)的“关联点”为点(5,6),点(5,6)的“关联点”为点(5,6)(1)下面哪个点的“关联点”在函数的图象上? ( )3yxA、(0,0) B、(3,1) A、(1,3) D、(3,1)(2)如果一次函数 y = x + 3 图象上点 M 的“关联点”是 N(m,2),求点 M 的坐标;(3)如果点 P 在函数(2xa)的图象上,其“关联点”Q 的纵坐标24yx y的取值范围是4y4,求实数 a 的取值范围xyOxyOxyOxyO2OxyD1D2B3A3D3CA B A2B2A1B1C2 C12、在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意三点 A,B,C,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且 A,B,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点 A,B,C 的外延矩形。点 A,B,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点 A,B,C 的最佳外延矩形例如,图中的矩形,1111DCBA2222DCBA都是点 A,B,C 的外延矩形,矩形 是点333CDBA333CDBAA,B,C 的最佳外延矩形(1)如图 1,已知 A(2,0),B(4,3),C(0, )t若,则点 A,B,C 的最佳外延矩形的面积为 ;2t若点 A,B,C 的最佳外延矩形的面积为 24,则 的值为 ;t(2)如图 2,已知点 M(6,0),N(0,8)P(,)是抛物线上一点,xy542xxy求点 M,N,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点 P 的横坐标的取值范围;x(3)如图 3,已知点 D(1,1)E(,)是函数的图象上一点,矩形 OFEGmn)0(4xxy是点 O,D,E 的一个面积最小的最佳外延矩形,H 是矩形 OFEG 的外接圆,请直接写出H 的半径 r 的取值范围33、在平面直角坐标系中,如果点 P 的横坐标和纵坐标相等,则称点 P 为和谐点例如点(1,1),(,),(,),都是和谐点313122(1)分别判断函数和的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的12 xy12 xy坐标;(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点(,),且当)0(42acxaxy23 23mx 0时,函数的最小值为3,最大值为 1,求的取值范围)0(4342acxaxym(3)和谐点为 P 的直线与轴交于点 A,与轴交于点 B,与反比例函数的图象2 kxyxyxny 交于 M,N 两点(点 M 在点 N 的左侧),若点 P 的横坐标为 1,且,请直接写出23 ANAM的取值范围nyxO11yxO1144 4、(北京房山模拟)、(北京房山模拟)【探究】如图 1,点是抛物线上的任意一点,l 是过点N m,n2 1114yx且与轴平行的直线,过点 N 作直线 NHl,垂足为 H. 02,x计算: : m=0 时,NH= ; m=4 时,NO= .猜想: m 取任意值时,NO NH (填“”、“”或“”).【定义】我们定义:对于平面内一个定点 F 和一条不经过点 F 的定直线 l,如果抛物线上任意一点 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离都相等,则称点 F 叫做抛物线的“焦点焦点”,直线 l 叫做抛物线的“准准线线”.如图 1 中的点 O 即为抛物线的“焦点”,直线 l:即为抛物线的“准线”.可2 1114yx2y 1y以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.【应用】(1)如图 2,“焦点”为 F(-4,-1)、“准线”为 l 的抛物线与 y 轴2 21+44yxk交于点 N(0,2),点 M 为直线 FN 与抛物线的另一交点,MQl 于点 Q,直线 l 交 y 轴于点 H.直接写出抛物线 y2的“准线”l: ;计算求值:NHMQ11(2)如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心,半径为 1 的O 与 x 轴分别交于A、B 两点(A 在 B 的左侧),直线与O 只有一个公共点 F,求以 F 为“焦点”、x 轴为y = 33x + n“准线”的抛物线的表达式.2 3yaxbxc图图 2yx MNFO图图 3yxBA O图图 1yxl-2HON55 5、如图 1,抛物线2yaxbxc(a0)=+的顶点为 M,直线 y=m 与 x 轴平行,且与抛物线交于点A,B,若AMB 为等腰直角三角形,我们把抛物线上 A、B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称 为该抛物线对应的准蝶形,线段 AB 称为碟宽,顶点 M 称为碟顶,点 M 到线段 AB 的距离称为碟高.(1)抛物线21yx2=对应的碟宽为 ;抛物线2y4x=对应的碟宽为 ;抛物线2yax=(a0)对应的碟宽为 ;抛物线2ya(x2)3(a0)=-+对应的碟宽 ;(2)若抛物线25yax4ax(a0)3=对应的碟宽为 6,且在 x 轴上,求 a 的值;(3)将抛物线2 nnnnnya xb xc (a0)=+的对应准蝶形记为 Fn(n=1,2,3,),定义F1,F2,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比. 若 Fn与 Fn-1的相似比为1 2,且 Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点,现在将(2)中求得的抛物线记为 y1,其对应的准蝶形记为 F1.求抛物线 y2的表达式 若 F1的碟高为 h1,F2的碟高为 h2,Fn的碟高为 hn。则 hn= ,Fn的碟宽右端点横坐标为 ;F1,F2,.Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出改直线的表达式;若不是,请说明理由.66、我们常常用符号表示 x 的函数,例如函数,则.( )f x2( )21f xxx2(3)32314f 对于函数,若存在 a,b,满足以下条件: 当时,随着 x 的增大,函数值( )f x( )f x0axx( )f x增大; 当时,随着 x 的增大,函数值减小,则称为在 axb 的一个峰值.0xxb( )f x0()f x( )f x(1)判断函数是否具有峰值;( )1f xx(2)求函数的峰值;2( )41f xxx (3)已知 m 为非零实数,当时,函数的图象记为T1;当时,函数xm22(1)2ym xmxm的图象记为T2;图象T1,T2组成图象T. 图象T所对应的函数记为. 若2(1)2ymxm( )f x存在峰值,求实数 m 的取值范围.( )f x7、对于平面直角坐标系中的点,定义一种变换:作点关于轴对称的点,xOy,P m n,P m nyP再将向左平移个单位得到点,叫做对点的阶“”变换P0k k kPkP,P m nk(1)求的阶“”变换后的坐标;3,2P33P(2)若直线与轴,轴分别交于两点,点的阶“”变换后得到点,求33yxxy,A BA2C过三点的抛物线的解析式;, ,A B CM (3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴与轴交于,若在抛物线对称轴上存在一点,MxDME 使得以为顶点的三角形是等腰三角形,求点的坐标,E D BE7
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