2 数列的极限,数列的概念 数列极限的定义 数列极限的性质,一. 数列的概念,高等数学与初等数学的差别在于： 研究对象：变量与常量； 研究方法：无限观念与有限观念。,1. 极限概念的引入,Step 1 以直代曲；,Step 2 考察变化趋势。,n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不论n多大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。,例2 求单位半径园的周长。,Step 1： 以直代曲，得到一系越来越逼近于圆周长的近似值；,Step 2： 考察这一系列值的变化趋势，从而确定出圆周长的准确值,圆周长：,.,越大，正多边形与圆接近的近似程度越高。,2. 数列的定义,称为一个数列（或序列），记作,，第,项称为通项。,定义1 遵循某种规律，依一定顺序排列的一串数,通项,序列,一般可以,例如,定义2.,定义3.,为有界序列。,例：,二. 数列极限的定义,极限概念的定性描述,limit,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,Sept 23 Fri. Review,函数运算：四则运算，反函数，复合函数； 基本初等函数与初等函数； 数列：概念，子列，有界； 极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，有界，几个特殊数列的极限; 。,例1.,.,例2.,例3.,三. 数列极限的性质,1. 唯一性,定理1. 收敛数列的极限是唯一的。即,定理2. 收敛数列必有界。,注意：1). 有界性是数列收敛的必要条件；2). 无界数列必定发散,2. 有界性,3. 夹逼性,定理3.,4. 保号性,定理4,推论：,4. 子列收敛性 定理4 收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同。,Hw: p30 3(1)，5.,推论：,3 函数的极限,函数在有限点处的极限 单侧极限时的极限 函数极限的性质,1. 函数在有限点处的极限,一 函数极限的定义,注意：,几何解释：,2. 单侧极限,例如,左极限,右极限,Sept. 26 Mon. Review,数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性； 函数极限：趋于有限点，单侧极限(左右极限).,左极限,右极限,例1,3 时的极限,两种情形：,几何解释：,定理,极限的七种形式：,Sept. 20 Mon. Review,4 函数极限的定义,极限的七种形式：,二. 函数极限的性质,定理1 （唯一性）,定理2 （局部有界性）,定理3 （保号性）,定理4,推论：,子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理5 （函数极限的并归性）,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,函数极限与数列极限的关系,例,证明：,二者不相等，,定理6. （夹逼性）,例,Hw:p38 1(2)，5，6，9.,