12.3 角平分线（2）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,角的平分线的性质定理:,PDOA，PEOB, OC是AOB的平分线, PDPE,用数学语言表述：,复习回顾,1、请你写出角平分线性质定理的逆命题为： 2、这个命题是否正确？你能用逻辑推理的方法加以证明吗？试一试。,交流总结,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上,证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,总结归纳：,角平分线性质定理的逆定理,角平分线的判定定理,1、如图，点P是菱形ABCD的对角线上一点，PEAB于点E，PFAD于点F,已知PF=5，则PE= 2、如图，点P到AOB两边的距离相等，若POB=30，则AOB=,学以致用,5,60,3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,巩固运用,请你总一总,通过刚才的练习，你认为角平分线的两个定理有什么区别？它们各有什么作用？,1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P也在BAC的平分线上.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB， PEBC,PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,点P在BAC的平分线上.,试一试,通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？,三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。,想一想,实践应用,1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,提示:由于没有限制在何处选址,你应怎样考虑？,D,通过本节课的学习，你有哪些收获？ 与你的同伴交流一下。,课堂小结,1、关于三角形的角平分线的说法错误的是( ) A.两角平分线的交点在三角形内 B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两角平分线的交点到三边的距离相等 D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等 2、如图，已知ABC中，C=90，AD为CAB的平分线，交BC于D，BC=5，BD=2则点D到AB的距离为 ( ),课堂延伸,D,3,3、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。 求证：AD是ABC的角平分线。,变式训练： 若已知AD是ABC的角平分线。 求证：BECF。,课堂延伸,4、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,课堂延伸,再见,