4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示,学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量的正交分解,思考,如果向量a与b的夹角是90，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？,答案,答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底,把一个向量分解为 的向量，叫作把向量正交分解,梳理,两个互相垂直,知识点二 平面向量的坐标表示,思考1,如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?,答案,答案 a2 i2j.,思考2,在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？,答案,答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定,思考3,设向量 (1，1)，O为坐标原点，若将向量 平移到 ，则 的坐标是多少？A点坐标是多少？,答案,答案 向量 的坐标为 (1，1)，A点坐标为A(1，1),(1)平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、 j作为基底对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y) 在平面直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0),梳理,单位向量,(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系,知识点三 平面向量的坐标运算,思考,设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？,答案,答案 ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).,梳理,题型探究,类型一 平面向量的坐标表示,例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105， a， b.四边形OABC为平行四边形,解答,(1)求向量a，b的坐标；,解 作AMx轴于点M，则OMOAcos 45,AMOAsin 45,AOC18010575，AOy45， COy30. 又OCAB3，,(2)求向量 的坐标；,解答,(3)求点B的坐标,解答,在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围,反思与感悟,跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 ， ， ， 的坐标,解 如图，正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，,解答,例2 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设 a， b， c. (1)求3ab3c；,类型二 平面向量的坐标运算,解答,解 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42),(2)求满足ambnc的实数m，n的值,解答,解 mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，,向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算 (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行,反思与感悟,解答,跟踪训练2 已知a(1，2)，b(2，1)，求： (1)2a3b；,解 2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7),(2)a3b；,解 a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1),例3 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)若 (R)，试求当为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上；,类型三 平面向量坐标运算的应用,解答,解 设点P的坐标为(x，y)，,若点P在第一、三象限的角平分线上，则5547，,(2)点P在第三象限内,解答,当(，1)时，点P在第三象限内,(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用 (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值,反思与感悟,跟踪训练3 已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_,解析 a(2，1)，b(1，2)， manb(2mn，m2n)(9，8)，,3,故mn253.,答案,解析,当堂训练,1.设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b等于 A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3),2,3,4,5,1,答案,2,3,4,5,1,答案,解析,3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且 2 ， 则顶点D的坐标为,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量 (4，3)，则向量 等于 A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4),2,3,4,5,1,5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4).,规律与方法,1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时 (xBxA，yByA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.,本课结束,