1,9.7 向量到子空间的距离 最小二乘积,一. 向量到子空间的距离,二. 最小二乘法,2,一. 向量到子空间的距离,1. 向量间的距离,(1) 定义：长度 称为向量 和 的距离，记为,(2) 基本性质, 并且仅当 的等号才成立；,（三角形不等式）,3,(1) 固定向量 ，如果与子空间 中每个向量垂直，,2.向量到子空间的距离,称 垂直于子空间 记,如果 则,(2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.,的满足 的向量，要证明,如图示意，对给定 ，设 是 中,4,对 有,（1）,证明： 因 是子空间，,由勾股定理,则 故,即（1）成立.,二. 最小二乘法,1.问题提出，实系数线性方程组,5,（2）,可能无解，即任意 都可能使,（3）,不等于零，设法找实数组 使（3）最小,这样的 为方程组（2）的最小二乘解，,此问题叫最小二乘法问题.,6,2.问题的解决,在（1）之下再设,（4）,用距离的概念，（3）就是,由（4）知,7,找 使（3）最小，等价于找子空间,中向量 使 到它的距离 比到,中其它向量的距离都短.,设 为此必,这等价于,（5）,即,这样（5）等价于 或,（6）,8,我们想找出 对 的一个近似公式.,（6）就是最小二乘解所满足的代数方程.,例. 已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种,化学成份 有关.下列表中记载了某工厂生产,中 与相应的 的几次数值：,9,解 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势,近于一条直线.因此我们决定选取 的一次式,来表达.当然最好能选到适当的 使得,下面的等式,10,的平方和最小，即找 使,都发生些误差.于是想找到 使得上面各式的误差,都成立.实际上是不可能的。任何 代入上面各式,最小.易知,11,最小二乘解 所满足的方程就是,即为,12,解得,（取三位有效数字）.,13,作业 P396: 19,20,21,