第7章 振 动,本章目录,1-1 简谐运动 1-2 简谐运动的力定律 1-3 简谐运动中的能量 1-4 角简谐振子 1-5 摆 1-6 圆简谐运动与匀速圆周运动 1-7 阻尼简谐运动 1-8 受迫振动与共振 1-9 简谐运动的合成,计划学时：,7-1 简谐运动,一、简谐运动方程,谐运动（周期运动）：任何在固定的时间间隔内重复 本身的运动,简谐运动判据1：若质点的运动方程可用时间 t 的正、余弦函数形式表示，则质点作简谐运动,式中 ， ， 为简谐运动特征量,质点离开坐标原点的位移 x 为：,简谐运动方程,SI单位：赫兹（Hz），即 1 Hz=1 次每秒=1 s-1,振动的频率 ：每秒钟 完成的振动次数,振动的一个重要性质是它的频率,各量对应名称如图,1.简谐运动的速度,二、简谐运动的速度、加速度,式中正量 叫速度幅 ，即,简谐振动质点的速度在 之间变化，,2.简谐运动的加速度,对简谐运动速度 ，再求一次微分得,比较简谐运动位移和加速度得,简谐运动判据2：若质点运动加速度与位移成正比， 但符号相反，两个量由角频率的平 方联系，则 该质点作简谐振动。,简谐振动质点的速度在 之间变化，,3.简谐运动的振幅 、初相 的确定,初始条件:开始计时（ ）简谐运动质点的初始位移 和初始速度,解得振幅,1.线性（简谐）振子： 由物块和弹簧构成的一个运动系统，如图,7-2 简谐运动的力定律,由弹簧的胡克定律有,再由弹牛顿第二定律有,弹簧劲度系数,简谐运动判据3： 若系统所受回复力恒与位移成正比 且反向，系统的运动是简谐运动。,1. 线性振子的势能：,7-3 简谐运动中的能量,线性（简谐）振子的能量在动能和势能之间来回转换， 两者之和振子的机械能将保持不变。,2. 线性振子的动能：,水平放置的弹簧振子,以平衡位置为坐标原点，弹簧振子所在水平面为重力势能零点,3. 线性振子的机械能：,孤立谐振动系统机械能守恒,角简谐振子：弹性特性只与悬线的扭转有关，而不与弹簧的拉伸和压缩相联系的一类简谐运动。,7-4 角谐振子,扭摆的运动方程,悬线下圆盘从静止位置转一个角位移 ，将引起恢复力矩：,式中 是一个扭转常量,由悬线的长度、直径和材料来决定。,此式可视为胡克定律 的角量形式。,故扭摆的运动可视为角简谐运动,角频率：,周期：,频率：,则有：,摆：弹性特性只与引力有关，而不与悬线的扭转或 弹簧的拉伸和压缩有关的一类简谐运动。 例如：单摆和物理摆,7-5 摆,一、 单摆 由一条长为L、不可伸长、无质量并在一端固定的细线悬着一个质量为的质点（摆锤）构成。,单摆摆锤受力分析如图 所示,单摆摆锤偏离平衡位置,所受回复力矩M,代入转动定律 有：,当 很小时（ ），,小角度摆动单摆的摆动角频率：,周期：,频率：,就是一个实际的摆。往往有很复杂的质量分布。,其所受回复力矩：,如图一个偏离平衡位置 角位移为 的物理摆,与单摆同理,二、 物理摆,振动中心：任何一个围绕给定悬点O 、周期为T 的物理摆与一个长度为L0 ，周期同样为T 的单摆相对应。我们将在物理摆悬点O和质心连线，距离O为L0的点定义为这个物理摆对给定悬点的振动中心,当 很小时（ ），,应用：用一个物理摆来测量地球表面特定位置的自由 下落加速度g。,三、 测量 g,代入物理摆周期公式，可得自由下落加速度：,例如：一根长为L、质量均匀分布的杆组成的物理摆,抠轴到质心的距离：,均匀杆对过质心轴转动惯量：,均匀杆对过抠轴转动惯量：,伽利略指出：简谐运动是匀速圆运动在运动平面内一条直线上的投影。即简谐运动是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。,7-6 简谐运动与匀速圆周运动,一、 旋转矢量法,质点P在 x、y轴上的投影均作简谐运动,参考质点P在半径为A的参考圆上作匀速率 圆周运动,参考质点的径向加速度a在x 轴上投影是简谐运动的加速度,参考质点速度v 在x 轴上投影是简谐运动的速度,阻尼：一个振子的振动因外力而减小,则该振子和它的运动受到了阻尼。,7-7 阻尼简谐运动,液体对叶片的阻尼力：,图为理想化的阻尼振子,式中b是阻尼常数，由叶片和液体的特性决定。负号表示阻尼力 的方向与运动方向相反,对应运动微分方程为,该理想化阻尼振子x方向牛顿运动方程为,讨论, 如果 即无阻尼，则变为无阻尼振子，角频 率为 运动方程为 。, 通解 可视为振幅为 随时间逐渐减小的余弦函数，如图所示,当阻尼较小时，其机械能为, 如果阻尼常量 较小，但不是零，即 ， 角频率为 。,7-8 受迫振动与共振,在外来能源提供的周期性驱动力作用下的振动。,一、 受迫振动,固有角频率,驱动力的角频率d,受迫振子以驱动力的角频率振动,当 时,振动的速度vm达到最大。,振动的振幅A达到最大。,二、 共振,当驱动力的角频率变化时，作受迫振动的振子的位移振幅A发生变化。,当 时,振动的振幅A达到最大。,较小的阻尼，其共振峰越高越窄。,近代物理学中，共振的概念已被推广。凡是有能量交换的系统，在某种状态下能使能量交换达到最大 。,TACOMA 大桥,共振特例,振动的合成：一个质点同时参与两个或两个以上的振动。由叠加原理知，质点的运动就是两个或多个振动的叠加。,一、 两个同方向同频率简谐运动的合成,7-9 简谐运动的合成,设有,合振动,合振动的强弱与两分振动相位差的关系,讨论,讨论,设,平行四边形形状变化,大小变化，不表示谐振动。,二、 同方向不同频率的两个简谐运动的合成 拍,讨论,拍频:单位时间中合振动最强（或最弱）的次数,拍频:,(1)振动方向互相垂直、频率相同的两个简谐运动的合成,一般情况下方程为椭圆方程。椭圆的形状和方位由两个分振动的相差以及两个分振动的振幅决定,三、 振动方向互相垂直的两个简谐运动的合成,消去时间参数 t ，得合成振动的轨道方程：,讨论,几种特殊情形的合振动, ，即两分振动同相, ，即两个分振动反相, 即沿y轴振动的初相比沿x轴 振动的初相超前/2; 合振动的轨道是一个正椭圆， 质点沿椭圆的顺时针方向运动。, ， 此时合振动的轨道仍然是一个正椭圆， 质点沿椭圆的逆时针方向运动, 当 其他值时，轨道为斜椭圆。,(2)振动方向互相垂直、频率不同的两个简谐运动的合成,由于两个分振动的相差不稳定，合振动的轨道一般 不能形成一个稳定的图形，情况比较复杂。,但若两个分振动的频率（或周期）成整数比时，则合振动的轨道为一稳定的封闭曲线。对于不同的频率比、不同的初相，将得到一系列不同的轨道图形，称为李萨如图形。,分析可知：两个相互垂直的分振动的频率之比与对应方向上轨道与约束矩形边框接触的次数成反比。因而在无线电技术中，常用此方法测定信号的未知频率。,