www.ks5u.com棠湖中学高2019届高三上第二学月考试理科数学第I卷（选择题，满分60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，复数，则 A3 B1 C0 D2.设集合，则 A B C D3.已知等差数列的前项和为，则取最大值时的为 A4 B5 C6 D4或54.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为A B C D5“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件6已知随机变量服从正态分布，若，则等于A. B. C. D.7已知满足，则A. B. C. D. 8设奇函数f (x )的定义域为R , 且, 当x时f (x), 则f (x )在区间上的表达式为 A B C D9ABC所在平面上一点P满足+=，则PAB的面积与ABC的面积之比为 A23 B14 C13 D1610.已知两点，若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为 A B C. D 11.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 A B C. D12.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为 A 2020 B2016 C. 1010 D1008第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13设，满足约束条件，则目标函数的最小值是 .14二项式的展开式中常数项为 . （用数字表达）15若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 16.已知分别为的三个内角的对边，且，为内一点，且满足，则 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本大题满分12分)已知在中，角、的对边分别是、，且.（）求角；（）若，求周长的最大值.18（本小题满分12分）1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（）能否据此判断有97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.（）证明：平面；（）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.20.（本小题满分12分） 设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.（）求的值；（）已知点的纵坐标为且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21（本小题满分12分）已知函数.（）求函数的单调区间；（）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（III）设函数， ，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建极坐标系，直线的极坐标方程为（）求的极坐标方程；（）射线与圆C的交点为，与直线的交点为，求的范围23选修4-5：不等式选讲 （10分）已知，证明：（）；（） 棠湖中学高2019届高三上第二学月考试理科数学答案1 选择题题号123456选项ADBBCA题号789101112选项ABCDCA二填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17. 解：（） 由正弦定理得即，在中， ， ,（）由余弦定理可得： 即 ，当且仅当时取等号，周长的最大值为6+3=918（1）由表中数据得的观测值所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. （2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示 设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.可能取值为0,1,2，的分布列为012所以 19（）证明：如图3，连接，连接，四棱锥的底面为菱形，为中点，又是中点，在中，是中位线，又平面，而平面，平面 （）解：如图，取的中点，连接，为菱形，且，为正三角形，设，且为等腰直角三角形，即，平面，且，如图，建立空间直角坐标系，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则， ，设为平面的一个法向量，则即可取设为平面的一个法向量，则即可取于是所以平面与平面所成二面角的正弦值为 20.解：（1）由题意及抛物线定义，为边长为4的正三角形，设准线与轴交于点，.（2）设直线的方程为，点，.由，得，则，.又点在抛物线上，则，同理可得.因为，所以，解得.由，解得.所以直线的方程为，则直线过定点.21.的增区间为；减区间为. 令要使恒成立，只需当时，令，则对恒成立在上是增函数，则当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；当时，在上有实根, 在上是增函数则当时，不符合题意；当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，即. 设切点坐标为，则切线斜率为从而切线方程为令，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.22.解：（）圆C的普通方程是又所以圆C的极坐标方程是 （）设则由设且直线的方程是则有所以23证明：（1）因为所以 （2）方法1：由（1）及得因为，于是 方法2：由（1）及得因为，所以故