2.2 直线的投影,教学目标：,1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系 2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系 3、熟练运用直角三角形法解决作图问题 4、熟练运用直角投影定理解决作图问题,教学重点：,1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理,教学难点：,1、掌握两直线的相对位置的判定 2、熟练运用直角投影定理,直线的投影,直线上的点,直线的真长及其倾角,两直线间的相对位置,直角投影规律,2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置,2.2.1.1 直线的投影,根据初等几何，两点决定一直线，所以，直线上两点的同面投影的连线就是直线在该面上的投影。其作图方法与点的作图方法一样。,1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。,3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上的投影长度小于真实长度。,2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。,直线投影的特点（三性）,投影面平行线,投影面垂直线,一般位置直线,统称特殊位置直线,2.2.1.2 与投影面成各种位置状态的直线,直线与投影面的位置关系有三种：,平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）,1、 一般位置直线的投影特性,A,B,a,b,a,b,a”,b”,X,Y,Z,0,YH,YW,X,Z,a,b,a,b,b”,a”,0,（2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线与投影面的倾角。,（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜；,一般位置直线与投影面的倾角 一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的倾角记为“” ；对W面的倾角记为“ ”。,2、投影面平行线,投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真实大小,(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性： 1ab OX ; a b OZ 2a b=AB 3反映、 角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性： 1ab OZ ; ab OYH 2ab =AB 3反映 、 角的真实大小,投影面平行线的投影特性归纳为：, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,实长,3、投影面垂直线,（1）正面投影OX ；平行于Z轴 （2）侧面投影OYW;平行于Z轴 （3）水平投影积聚成一点。,（1）铅垂线,（2）正垂线,A,B,a (b),a,b,a”,b”,H,V,W,0,Y,Z,X,（1）水平投影OX ,平行于YH轴; （2）侧面投影OZ ,平行于YW轴; （3）正面投影积聚成一点。,A,B,a,b,a,b,a”(b”),H,V,W,0,X,Y,Z,（1）正面投影OZ ,平行于X轴; （2）水平投影OYH，平行于X轴; （3）侧面投影积聚成一点。,（3）侧垂线,投影面垂直线的投影特性归纳为：, 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。, 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。,判断下列直线是什么直线？,正平线,水平线,水平线,侧平线,正垂线,侧垂线,铅垂线,倾斜直线,2.2.2 直线上的点的投影特性,点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。,A,B,C,a (b),E,F,D,e,d,f,直线上点的投影特性: 1、从属性：直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。 2、定比性：直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：,(c),ED:DF = ed:df = ed: df=ed:df,检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上,X,O,k,a,b,c,e,f,g (h),i,l,j,k,a,b,c,g,h,i,l,j,d,dfe,点C在直线AB上,点F在直线DE上,点I不在直线GH上,点L不在直线JK上,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K 点在直线 AB 上,【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？,方法一：从属性,方法二：定比性,a,b,a,b,k,k,X,O,K 点在直线 AB 上,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,d,d,a,b,k,D点不在直线AB上,O,【例题】判断点C、D是否在直线AB上。,方法一：从属性,c,c,C点在直线A B上,方法二：定比性,X,a,b,a,b,d,d,O,c,c,D点不在直线AB上,C点在直线A B上,【例题】试在直线AB上确定一点C，使 AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,a,b,a,b,C ,c,X,O,【例题】如图所示，已知直线AB上的点C距离侧面W10mm，求C点的两面投影。,Z,O,b,a,b,a,【例题】如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影， 求其余投影。,已知,方法一，利用从属性,方法二，利用定比性,s,b,b”,s”,s,k,m,( ),b,【例题】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。,c,0,B,A,a,b,c,c,a,a,a,b,b,b,V,H,X,X,O,求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。求实长或可采用辅助平面法。,2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角,2.2.3.1 求直线的真长及其对投影面的倾角,直角三角形法,AB真长,AB真长,ZAB,量取ZAB,YAB,量取YAB,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W投影长,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,X,a,b,a,b,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,a,a,b,b,X,O,Z,YH,YW,a,b,【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角 、,X,a,b,a,b,O,a0,方法一：,X,a,b,a,b,O,a,b,AB真长,方法二：,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取 AC=25mm,c,c,【例题】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。,【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,BC=L,a,b,a,b,X,量取YAB,R=40mm,YAB,a,b,a,b,【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm， 求AB的H面投影。,a,b,a,b,YAB,量取YAB,【例题】已知直线AB的V投影，且=30 求AB的H投影。,a,b,a,b,zAB,直线的H投影长,以直线的H投影长 为半径，作圆弧,直线AB真长,【例题】已知直线AB的V投影，且=30， 求AB的H投影。,60,2.2.3.2 已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问题,【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ，作点T的两面投影。,d,c,O,d,Z,c,c0,c1,【例题】如图所示：已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影ef,同时，请回答这个题目有几解。,e,f,X,O,e,有两解,2.2.4 两直线的相对位置,两直线的 相对位置,两直线交叉（交错）异面,两直线相交,两直线平行,共面,(1)两直线平行,两直线平行的投影特性： (1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即ABCD，则：abcd ；abcd；abcd 。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= ab:cd= abcd,一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：,两面投影均平行的直线空间不一定平行,两直线平行的判定：,若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。,当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行,判断两直线是否平行的方法,3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？,2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？,1、第三面投影是否平行？,(2)两直线相交,两直线相交的投影特性： 两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。,当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。,一般根据直线的两面投影即可判断是否相交,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。,(3)两直线交叉,两直线交叉的投影特性： 既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.,（3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。,（2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错;,（1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；,判定条件：,1,2,3,4,5,6,判断下面形体的轮廓线为交错直线,判断两根管子的可见性,d,a,b,c,d,a,b,c,X,0,判断两直线的位置关系,a,b,c,d,e,a（f）,b,c,d,e,0,X,AB与CD,AB与AE,CD与AE,交错,相交,交错,0,X,a,b,c,d,a,b,c,d,AB与CD,平行,g,g,f,AB与FG,交错,d,c,b,a,d,c,b,a,d,c,a(b),d,c,b,a,d,c,b,a,c,b,a,d,c,b,a