有限元法应用有限元法应用(第十三讲 ) 清华大学汽车工程系清华大学汽车工程系结构分析与结构分析与 CAE研究室研究室第第10章章非线性有限元问题的分类与非线性有限元问题的分类与一般解法一般解法10.1 引言引言10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室在线性有限元分析中作了以下假设：小位移(小变形)；线弹性；在加载过程中边界条件不变化。其中K为常数矩阵. 该方程为线性方程 PPP 与 线性关系（在非线性结构分析中，该情况不成立）。 KP =（10.1 ）由此，得静力学有限元方程：10.1 引言引言即,汽车工程系 结构分析与 CAE研究室假设、如何在方程（10.1）中体现的呢？积分是在单元的初始体积内完成的（将结构变形后的体积（几何尺寸）用变形前的体积（几何尺寸）加以描述）。基于小变形假设。a）在计算单元刚度矩阵 eTVK BDBdV=时， ()eB=应变矩阵b）单元的应变-位移关系为式中B 与单元结点位移无关（线性应变矩阵）。基于小变形假设。10.1 引言引言事实上:汽车工程系 结构分析与 CAE研究室d）边界约束条件在加载过程中保持不变。如果在加载中位移边界条件发生改变，（如某自由 的自由度 在一定载荷水平下成为被约束自由度） ，则系统成为非线性。这种情况在接触分析中出现。* 如果不满足上述、假设，结构系统的力学行为将出现非线性 。c）应力 -应变关系为 =D ，式中 D为常数矩阵。 基于线弹性假设。10.1 引言引言第第10章章非线性有限元问题的分类与非线性有限元问题的分类与一般解法一般解法10.1 引言引言10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室非线性问题一般分为三类：材料非线性 ( )() ( )DE =单向应力状态：几何非线性 ()()eB=非线性应变矩阵接触非线性（边界非线性，状态非线性）10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类*大位移（大转动），小应变（小变形）大位移（大转动），小应变（小变形）*大应变（大变形）（或有限应变、有限变形）汽车工程系 结构分析与 CAE研究室非线性分析分类表：分析分类 说明 使用列式 应力和应变表示材料非线性（ only）小位移（小应变）；应力 -应变关系非线性。全量Lagrangian(T.L.)工程应力和应变Engineering Stress and Strain大位移（大转动），小应变纤维伸长和角变形是小的，但纤维的位移（或转动）量大；应力 -应变线性或非线性。全量Lagrangian(T.L.)增量Lagrangian(U.L.)Second Piola-Kirchhoff Stress, Green-Lagrange Strain； Cauchy Stress, Almansi Strain.大位移（大转动），大应变纤维伸长和角度变化量大，纤维位移（或转动）也大；应力 -应变线性或非线性。(T.L.)(U.L.)Second Piola-Kirchhoff stress, Green-Lagrange Strain; Cauchy Stress, Logarithmic Strain.接触非线性 在加载过程中边界条件发生改变与其他组合出现10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类汽车工程系 结构分析与 CAE研究室用以下例子说明各类非线性., P/2 P/2 L A 求 P 之关系 10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类汽车工程系 结构分析与 CAE研究室线弹性（小位移）PA=PEEA =应力：应变：PL EALPEA L= = =，或位移：或：KP=其中，EAKL=(线性关系) 1 E 时，()ttsoEAkPL+=t P 0t P (1 )totsEAkPL+ =( )ttK P =这种接触非线性也可在几何非线性或材料非线性中出现。10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类汽车工程系 结构分析与 CAE研究室对于实际工程问题，首先分析研究对象的物理现象属何性质，然后确定分析类型。当然，选择最一般的大变形、材料非线性、边界非线性总是正确的，但无必要。10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类第第10章章非线性有限元问题的分类与非线性有限元问题的分类与一般解法一般解法10.1 引言引言10.2 非线性问题的分类非线性问题的分类10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室虽然非线性有限元问题是多种多样的，最终均可写成非线性方程组:( ) K P=如何求解上述非线性方程组，是本节重点。下面以材料非线问题为例，说明在有限元法中如何求解非线性方程。( ) ( ) 0KP = =(10.2) 刚度矩阵不是常数，而与变形有关。求解非线性问题的方法可分为三类，即增量法、迭代法 和 混合法 。10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法非线性方程可写成非线性方程可写成汽车工程系 结构分析与 CAE研究室10.3.1 增量法增量法增量法的基本过程如下：把载荷划分为许多增量 ( )1, 2, ,iPi m=（增量可不等） 1miiP P=0 P PPi逐步施加载荷增量，逐步求解。每一步计算中，将刚度矩阵 K( )处理为常数（线性化），在不同载荷步中，刚度矩阵具有不同值。即 ,ii = =mmi=1 i=1 iiiiP JJJJJJJJM线性化由*增量法是用一系列线性问题去近似非线性问题（或用分段线性的折线去代替非线性曲线）。10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室* 如何由载荷增量 Pi 计算位移增量 i ？（1 ）始点刚度法设第i -1步末的变量 i-1 已求出，则对应第i- 1步末的刚度矩阵假设在第 i步内刚度矩阵保持不变，并近似为 Ki-1 ，于是由下列方程可计算第i 步时位移增量 i 式中 Ki-1 是由曲线的第i 步始点计算的，故称为始点刚度法 。 ( )11iiKK= 1ii iKP =( )1, 2, 3, ,im= （ 10.3）10.3.1 增量法增量法10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室*该法计算简单，但计算精度较低。0 P i-1iPPiPi-1PiPi-2Pi-1单变量 10.3.1 增量法增量法10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室（2）中点刚度法为了提高计算精度，一个自然的想法是在每步计算中采用平均刚度，即先用 Ki-1 计算初步, *ii 再由初步 i*计算第i 步末的刚度矩阵 Ki ，由此可计算第i 步的平均刚度矩阵如下：()11(a)2iiiKKK=+然后由下式计算出第i 步的位移增量(b)iiiKP=10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.1 增量法增量法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室上述计算精度提高了，但从（a）式可知，需要增加计算机的存储量。因此采用下述中点刚度法更为合适。首先施加载荷增量的一半, Pi 用第i-1步末的Ki-1计算临时位移增量,即 *12i *11212iiiKP =10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.1 增量法增量法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室进一步可设中点位移*11 122iii =+ 由中点位移可算出 12iK ，再由下式计算第 i步的位移增量。12iiiK P =0 P i-1/2iPPiPi-1/2Pi-1i-1ki-1ki-1/2i由图可看出中点刚度与始点刚度法的区别。i 中点刚度法算得的位移。i 始点刚度法算得的位移 。10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.1 增量法增量法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部载荷，然后逐步调整位移，使以下基本方程得到满足。() ( ) 0KP = =直接迭代法先给初始近似解 0 （如 0 =0），可求出K(0 )=K0 ，则由基本方程可求得第一个改进的近似解。11 oK P=重复这样的过程，从第n次近似解求第n+1次近似解的公式为 ( )11nnnnKKK P+= =（10.5）直至前后两次计算结果充分接近为止。10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.2 迭代法迭代法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室收敛准则 :Tn = 给定的很小的数或( ) () 0nnnKP =（失衡力）（由于 n并非真值，所以失衡力存在 ）收敛准则为( )nP 给定的很小的数10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.2 迭代法迭代法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室单变量直接迭代法的计算过程如下图。直接迭代法每步采用的都是割线刚度矩阵 nKP 0123 k0k1k2 10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.2 迭代法迭代法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室(2) 牛顿法（或牛顿 -拉夫逊法： Newton-Raphson）考虑单变量x 的非线性（函数）方程( )0fx=在 x0 点作泰勒展开，得在 x0 附近的线性化近似方程() ( )( )0ooofx f x x x+ =由此可解得( )()1ooofxxxfx=它是 f (x)=0 的第 1次近似解。( )0fx=10.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.2 迭代法迭代法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室重复上述过程，得到 f (x)=0 的第 n 次近似解。( )()1nnnnf xxxf x+=即著名的 Newton-Raphson法（简称 N-R法）。y x0y= f(x) x x1x210.3 非线性问题的一般解法非线性问题的一般解法10.3.2 迭代法迭代法汽车工程系 结构分析与 CAE研究室对于有限元非线性方程组( ) ( ) 0KP =设 n 是上式第n 次近似解，由 N-R法 ()0nnn+=或 ( )0tnn nK+=由此可解得第n+ 1 次近