小学数学学习心理学,内容结构,先前知识 元认知、非认知因素、儿童心理特征、 学习环境、评价 数学学习论通识知识（主体） 数学概念的理解、数学技能的习得、数学问题解决、 数与运算的学习、几何学习、代数学习、统计与概率学习 数学学习论拓展问题 （章节后的研讨问题）,先前知识梳理：元认知,问题： 1.什么是元认知？包含哪些成份？其核心成份是什么？各成份之间具有怎样的关系？并举例。 2.培养小学生元认知监控能力的策略有哪些？为什么？并举例。 ,先前知识梳理：非认知因素,为学正如上水船，方平稳处，尽行不妨，及到滩脊急流之中，舟人来这上一篙，不可放缓。直须著力撑上，不一步不紧。放退一步，则此船不得上矣。 朱熹：朱子语类 在科学上面没有平坦的大路可走，只有那在崎岖小路的登攀上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点。 马克思：资本论法文版序言,先前知识梳理：非认知因素,问题： 1. 什么是非认知因素？ 2. 非认知因素对学习有什么作用？ 3. 描述一个关于非认知因素的教育故事。 ,先前知识梳理：儿童的心理特征,问题： 1. 儿童的认知规律？并举例 2. 儿童如何对待别人的评价？并举例 3. 儿童的心理特点？并举例 ,数学学习论通识知识：数学概念的理解,什么是数学概念 从数学本身的发展看，数学概念一是反映直接从客观事物的数量关系和空间形式，二是反映在抽象的数学理论基础上再经过多级抽象的结果。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 1.概念发展的抽象性 1）数学抽象的特点： 只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；数学的抽象是一级一级逐步提高的，所达到的抽象程度大大超出其他学科中的一般抽象；数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中，如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算，这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的 （亚历山大洛夫Alexanderlov，1988）,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 1.概念发展的抽象性 2）数学概念并非一开始就是精确的，有一个抽象化和精致化的过程：（拉卡托斯lakatos，1976） 产生一个模糊的想法； 尝试对这个想法用语言进行描述； 通过形式的定义得到初步的概念； 尝试由定义给出具体的例子、推出某些性质、验证相关定理、寻找等价或者相似的对象； 对原先的定义进行修正以排除不合理的推论； 调整、变更或者拓展对概念的理解，以便适应新的可能性,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 2.概念表征的多元性 表征： 用某种形式将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的；根据信息加工理论，表征就是以一物代替另一物。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 2.概念表征的多元性 莱什等人认为，学生必须具备下列条件才算了解了一个概念： 1）必须能将此概念放入各种不同的表征系统中； 2）在给定的表征系统中，必须能够有弹性地处理这个概念； 3）必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 3.概念理解的层次性 概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程度都反映了数学概念理解的层次性。 数学概念学习可分为五个阶段（克劳斯梅尔Klansmeier，等人） 具体期：学生能理解一个先前经验过的例子； 确认期：可以了解一个之前遭遇的例子，即使这个例子是由不同时空观点或不同形式来观察的； 分类期：能够举出正例和反例； 生产期：可以自行举出关于此概念的例子； 形成期：可以说出此概念的定义。 斯根普（skemp）：初级概念（直接由感知得到） 二级概念（初级概念再抽象）,数学学习论通识知识：数学概念的理解,数学概念的基本特征 4.概念联结的系统性 数学概念的前三个特征直接导致了它的第四个特征，即数学概念具有广泛的联系性。这里的联系既包括概念与背景的联系，也包括概念之间的联系；既有纵向的联系，也有横向的联系。 因此，数学概念都被嵌入到组织良好的概念体系中。这样，个别概念的意义总有部分是来自与其他概念的相互关系，或出自系统的整体特征（Lesh,1979）。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,儿童产生错误概念的原因及解决办法 错误概念形成的原因可能是： （1）从直接的实际经验或日常生活经验和观察得来； （2）由通常的用语或隐喻的使用得来； （3）由正式或非正式的教学而来； （4）同伴的影响而来； （5）来自教科书的内容或教师的教学过程； （6）由字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。 （Sutton & West,1982）,数学学习论通识知识：数学概念的理解,儿童产生错误概念的原因及解决办法 从逻辑上看，错误概念的类型 主要有以下三种（Markle & Tiemann,1970）： 儿童错误概念的解决办法： 1.前两种是由于对概念的内涵把握得不够准确，从而缩小或扩大了概念的外延，解决办法：分别找到相应的正、反、特例； 2.第三种则是由于对概念内涵的理解出现了偏离，从而形成了交叉外延，解决办法：必须同时指出交集以外的正反、特例。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,概念理解的评价途径 用于评价学生的概念理解的途径比较多，其中包括测试（包括标准化测试）、问卷、访谈、出声思维，等等。近年来，随着动态评价方式的流行，概念图逐渐成为评价学生概念理解的重要手段，在数学领域也不例外。 （1）什么是概念图（concept map） 概念图最早由美国康奈尔大学的诺瓦克（Joseph D. Novak）教授等人于20世纪60年代提出，即用图式的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，把人脑中的隐形知识显性化、可视化，便于人们思考、交流、表达。概念图又称为概念构图或概念地图。,数学学习论通识知识：数学概念的理解,概念理解的评价途径 （3）概念图的图表结构 节点（结点）：方框中的概念 联结线 ：表示两个概念之间的意义联系 联结词 ：置于连线上的两个概念之间形成命题的联系词 概念图软件Inspiration,数学学习论通识知识：数学概念的理解,概念理解的评价途径 （4）概念图计分方法简介 成份结构评分法 1）关系：一个有效且有意义的联结关系，给予一分； 2）阶层：每一个有效的阶层，给予五分； 3）交叉联结：概念图中某概念阶层的一部分和另一阶层的部分概念间呈现有意义的联结。一个重要且有效的交叉联结，给予十分，有效但不能指出相关概念（或命题）所组成的交叉联结，则给予两分； 4）举例:根据自己理解，举出特殊且具代表性的例子（非现成例子）。举出一个例子，给予一分。 总分越高，表示学生概念学习越好。 其他：相似度评价法（学生与专家的概念图比较） 综合评定法（综合运用基于成份和基于专家图匹配的两种方法）,数学学习论通识知识：数学概念的理解,思考题： 数学概念表征的意义何在？ 根据你的了解，举一个学生数学概念错误的例子，说明属于什么类型，并找出解决办法。 根据数学概念的特征和儿童数学概念的形成途径，你认为小学数学概念教学有哪些有效策略？请举例。 你认为用概念图评价学生数学概念的掌握情况的优势和不足是什么？ 根据本专题内容，画出你的概念图。 你还能提出什么问题？,数学学习论通识知识：数学技能的习得,什么是技能和数学技能 数学技能的基本特征 中小学课程中的数学技能 数学技能的形成,数学学习论通识知识：数学技能的习得,什么是技能和数学技能 在认知心理学中，技能一般被看作是按照固定步骤进行，利用常规思路顺利完成某种任务的一种动作或心智活动方式。 数学技能是指，在数学学习过程中通过训练得以顺利完成数学学习任务的一种行动方式或心智行动方式。也可以说，是通过数学练习在个体上固定下来的自动化活动方式。据其本身性质和特点，数学技能可以分为操作技能（动作技能）和心智技能（智力技能）两种类型。,数学学习论通识知识：数学技能的习得,数学技能的基本特征 1.数学操作技能的特征 操作性数学技能是指数学活动中由一系列实际动作以合理、完善的程序构成的操作活动方式。 三个基本特征： 外显性 客观性 非简约性,数学学习论通识知识：数学技能的习得,数学技能的基本特征 2.数学心智技能的特征 数学心智技能（认知性数学技能），是指借助内部语言在头脑中按一定的、合理的、完善的方式自动地进行数学认知活动的方式。有以下特点： 直接对象是抽象的数学概念、命题与表象，而不是具有物质形态的客观对象； 主体的变化具有很强的内隐性； 心智活动的简缩性；,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 1.国外数学课程中的技能 美国：注重在课程文件中强调数学技能的是加州数学课程标准与框架（比NCTM更重视），规定在12年的中小学数学学习中必须熟练技能： 能正确算出加法、减法、乘法和除法的答案； 能正确找出等值的分数、小数和百分比； 能运用分数、小数和百分比； 能测量； 能计算出简单图形的周长和面积； 能解释日常生活中遇到的图表；,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 1.国外数学课程中的技能 美国：注重在课程文件中强调数学技能的是加州数学课程标准与框架（比NCTM更重视），规定在12年的中小学数学学习中必须熟练技能： 能从日常生活中的一组数据找出中位数和平均数； 能运用科学记号表示非常大或非常小的数； 能运用基本几何性质，包括毕达哥拉斯定律； 能根据已知两点，找出通过这两个点的线性方程式； 能解出线性方程式和线性方程式组的解；等等,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 2.中国数学“双基”之一的数学基本技能 数学运算技能： 符号操作技能： 图形处理技能： 数据分析技能： 推理论证技能： 数学交流技能：,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 3.数学思维 （1）数学思维的含义 数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。 数学思维是一个从外感到内化的交互作用过程，是认知主体将外部材料转化为内部材料的信息增殖过程，也是从感性认识上升到理性认识、从感性材料转化为理性材料以及理性材料不断纯化和多样化的前进过程 。,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 3.数学思维 （2）数学思维的特点 概括性 、问题性 （3）数学思维方式 思维方式：是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式，是体现一定思维心智方法和思维内容的思维模式。 数学思维方式：就是在数学思维过程中，主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维心智方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学思维内容体现出来。,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 3.数学思维（方式） 1）集中思维与发散思维 集中思维（聚合思维、收敛思维） 指调动各种信息（已知的或回忆的），按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式。 （1）特点 思路集中，所有信息都朝向一个目标深入发展，以生成新信息。 在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性；在思维内容上具有求同性和专注性。 通常较多采用分析、综合、概括等思维心智操作方法。,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 3.数学思维（方式） 1）集中思维与发散思维 集中思维（聚合思维、收敛思维） （2）分类 1）定向思维（正向思维）： 连续性、渐进性和联结性 由定向思维所造成的思维的趋向性或专注性的状态就称为思维定势。 思维定势有正迁移和负迁移作用。,数学学习论通识知识：数学技能的习得,中小学数学课程中的数学技能 3.数学思维（方式） 1）集中思维与发散思维 集中思维（聚合思维、收敛思维） （2）分类 2）纵向思维 把思维目标沿着逐步深入的方向分成若干前后联系的小目标（中途点或环节），通过小目标的逐个解决达到解决大目标的思维方式