第8章 阻抗和导纳,8-1 变换方法的概念,8-4 相量的线性性质和微分性质,8-5 基尔霍夫定律的相量形式,8-7 VCR相量形式的统一阻抗和导纳的引入,8-8 正弦电路与电阻电路的类比相量模型的引入,8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式,8-9 正弦稳态混联电路的分析,8-11 相量模型的等效,8-12 有效值 有效值相量,8-13 两类特殊问题 相量图法,8-2 复数,8-3 相量,8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法,8.1 变换方法的概念,正弦电量（时间函数）,正弦量运算,所求正弦量,变换,相量（复数）,相量结果,反变换,正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。,正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。,相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。,例如：已知两个支路电流 i1= I1 mcos( t+i1) i2= I2 mcos( t+i2)若求： i1 + i2,正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律变化的电路。,正弦交流电路(正弦稳态电路)的基本概念,在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。,本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。,交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。,正弦电压与电流,直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如图所示。,正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图所示。,正半周,负半周,电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。,负半周时，由于电压（或电流）为负值，所以其实际方向与参考方向相反。,+,一.周期电压和电流按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。,u(t)=Umcos(t),u(t)=Umsin(t+/2),Um 振幅 角频率,i (t)= Imcos (t+),正弦交流电的三要素：（1）幅值 Im（2）角频率 （3）初相位 ,二.正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。,1. 频率与周期,周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；,角频率 :,例我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。,解, = 2f = 23.1450 = 314rad/s,Im,t,i,0,频率 f ：正弦量每秒内变化的次数；,Im,交流电每交变一个周期便变化了2弧度，即 T = 2,2. 幅值与有效值,瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示。如 i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。,幅值是交流电的最大值。用大写字母加下标表示。如Im、Um、Em。,有效值是从电流的热效应来规定的。如果交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直流电流通过同一电阻在相同时间内消耗的电能相等, 就将这一直流电流的数值定义为交流电流的有效值。,Im,t,i,0,Im,同理可得,根据上述定义，有,有效值,当电流为正弦量时:,i(t)= Imcos (t+i ),3.初相位,对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值)就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。,例如:,t=0时的相位角 称为初相位角或初相位。,(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量变化的进程。,若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。,i (t)= Imcos t,i (t)= Imcos (t+),t=0时， i (0)= Im,i (0)= Imcos ,相位差,i2 超前i1,i2 滞后i1, t,i1,0, t,i1,0, t,i1,0, t,i1,0, t,i1,0,i1与i2反相,i1与i2同相,i1与i2正交,在一个交流电路中，通常各支路电流的频率相同，而相位常不相同。,a,A,0,b,r,模,辐角,a=rcos,b=rsin,cos +jsin =ej,由欧拉公式，得出：,代数式,指数式,极坐标式,复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。,复数在进行乘运算时宜采用指数式或极坐标式，模与模相乘，辐角与辐角相加。,有向线段可用复数表示,复数可用几种形式表示,复数在进行除运算时宜采用指数式或极坐标式，模与模相除，辐角与辐角相减。,8.2 复数,8-3 相量,由欧拉恒等式， ej = cos+jsin,令 =t+,Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+),设 i(t)= Imcos(t+),ReImej(t+) =Imcos(t+)= i(t),ImImej(t+) =Imsin(t+),Re(ej )= cos,Im(ej )= sin,8-3 相量,Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+),设 i(t)= Imcos(t+),i(t) = Imcos(t+) = ReImej(t+) =ReImej ejt,由欧拉恒等式， ej = cos+jsin,式中,称为正弦电流i(t)的幅值相量,称为正弦电流i(t)的有效值相量,+1,+ j,0,t1+ ,Im,t,i,0,t1,A,t2,A,i= Imsin(t+),i,t,t1,有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是，以角速度 逆时针方向旋转，它在实轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值i= Imcos(t+),t=t1时， i(t1)= Imcos(t1+),8.3 相 量,由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征量来确定。,比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。,为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用在大写字母上打一“”的符号表示。,= Ia +j Ib=Icos +jIsin=Iej=I,最大值相量,有效值相量,0,= Iam +j Ibm=Imcos +jImsin=Imej=Im,相量图,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并不相等。,正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。用大写字母上打“”表示。,i= Imcos( t+),例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz，u=30，试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬 时值。,解：,瞬时值 u=311cos(100t+30 ),u( 0.01) =311cos(100 0.01 +30 ),= 269.3V,有效值相量,最大值相量,有效值,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，二者之间并不相等。,按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。,注意,只有正弦量才能用相量表示；,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；,相量图,i1,i2,例 若 i1= I1 mcos(t+i1) i2= I2 mcos(t+i2)，已知i1=30，i2=65，I1m=2I1m试画出相量图。,i3(t)= 7cos(314t+ 60 ) A,写出相量，绘相量图,=7cos(314t120 )A,例:,i3(t) = 7cos(314t+ 60),解：,8-4 相量的线性性质和微分性质,1. 相量的线性性质,表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即,如设两个正弦量分别为：,i1(t) = Im1cos(t+1),设 k1和k2为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t)可用相量,i2(t) = Im2cos(t+2),表示。,例 若已知 i1=I1mcos(t+1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+2)=60cos(t30)A ，试求 i=i1+i2 。,解,于是得 i2=129cos(t+18.33)A,正弦电量的运算可按下列步骤进行,例 若已知 i1= I1 mcos( t+ i1)、 i2= I2 mcos( t+ i2)，用相量图求解 i1 + i2,解：用相量图求解,i1,i2,i,i= I mcos( t+i),8-4 相量的线性性质和微分性质,2. 相量的微分性质,这一性质包含两个内容：,i1= I1 mcos( t+1),i2= I2 mcos( t+2),i3= I3 mcos( t+3),由基尔霍夫电流定律，节点A的电流方程为i1 + i2 - i3 = 0,节点A的电流方程相量表达式为,基尔霍夫定律的相量形式,8-5 基尔霍夫定律的相量形式,根据相量的线性性质,电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。,9.6.1 电阻元件的交流电路,本节从电阻、电容、电感两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些理想元件的电压与电流之间的关系，为分析交流电路奠定基础。下章再讨论功率和能量转换问题。,电压与电流的关系,在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。,根据欧姆定律,设,则,式中,或,可见，R 等于电压与电流有效值或最大值之比。,8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式,i (t)= Imcos (t+),u(t)= RImcos (t+)= Umcos (t+),电压与电流同频率、同相位；,电压与电流的关系,电压与电流大小关系,电压与电流相量表达式,相量图,8.6.1 电阻元件的交流电路,i (t)= Imcos (t+),u(t)= RImcos (t+)= Umcos (t+),设,XL,感抗,电压与电流的关系,由,，有,感抗与频率f 和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。,8.6.2 电感元件的交流电路,设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。,XL与 f 的关系,i= Imcost,u= LImsint = Umcos(t+90),（1）u 和 i 的频率相同；,（2）u 在相位上超前于 i 90 ；,（3） u 和 i 的最大值和有效值之间的关系为： Um = XLIm U =XLI,