为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划线性代数第2章n维向量,总结说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。第一章行列式1.行列式的定义式-行列式的性质-对行列式进行行、列变换化为上下三角。2.行列式的应用克拉默法则。总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式具有天壤之别。2.高斯消元法求线性方程组的解唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法、逆矩阵与伴随矩阵的关系。4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。5.分块矩阵记得结论A可逆，则A?T?|A|(1-?TA-1?)。第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为?1,?2,?,?n，右边常则看作一个向量?，1）若向量?被向量组?1,?2,?,?n表出唯一，则只有唯一解；2）若?不能由向量组?1,?2,?,?n线性表出则无解；3）若?由向量组?1,?2,?,?n表出不唯一有无穷解。1.线性相关、线性无关的定义、描述及判定2.向量组的秩的定义及极大线性无关组的求法(化为阶梯型后同高度选一个)3.矩阵的秩向量组的秩相对应。4.齐次线性方程组非零解的条件(r(?1,?,?n)?n，列向量线性相关或秩)和解得结构(n-r(?1,?,?n)个线性无关的解的线性组合)。5.非齐次线性方程组的解存在的条件(r(?1,?,?n)?r(?1,?,?n，?)及解的结构(对应的齐次线性方程组的解+一个特解)。第四章向量空间和线性变换第二章高斯消元法关于如何求线性方程组的解，多用于线性方程组解的计算；第三章线性方程组的解从向量组的角度来讨论解存在的条件及解的结构，向量?被向量组?1,?2,?,?s线性表出形式与第四章是从线性变换和空间的角度来(?1,?2,?,?s)x?的解相互对应；讲解线性方程组的解。1)线性变换：线性方程组的解看做原像，线性方程组的右端项看作是线性变换的像。线性方程组有解就说明右端项(?)在线性变换的A的象空间里。2）内积结合线性子空间的角度考虑线性方程组解的结构(主要是齐次线性方程组的解的结构，齐次线性方程的系数组成的列向量组所张成的子空间和解空间互为正交补，注：互为正交补的空间为维数加起来等于全空间的维数且相互正交的子空间）。重要内容：坐标变换、过渡矩阵、施密特正交化方法。第五章特征值特征向量矩阵的对角化特征值和特征向量承接了第四章的线性变换的定义，一个矩阵A的特征向量?，则满足条件A?(线性变换不改变向量的方向)，变化前后两个向量相差一个倍数，恰好就是特征值。Ann至多有n个线性无关的特征向量，这是因为线性变换的像空间的维数至多为n维的。当A恰好有n个线性无关的特征向量时A可对角化，?1?2?即存在关系为(?1,?2,?,?n)?1A(?1,?2,?,?n)?。注意并不?n?是所有的矩阵都可以对角化的，只有含n个线性无关的特征向量的矩阵才可以对角化。对于所有的实对称的矩阵则都可以对角化，并且不同特征值的特征向量相互正交，且对角化的矩阵可以为正交矩阵。重要内容：1.求特征值、特征向量2、实对称矩阵运用正交阵来对角化3、特征值、特征向量的关系，例如不同特征值的特征向量的和不再是特征向量，不同特征值得特征向量线性无关，实对称不同特征值的特征向量相互正交。第六章二次型二次型把二次齐次多项式f(x1,x2,?,xn)写为xTAx的形式，其中A为实对称矩阵，则根据第五章内容实对称矩阵都相似于一个对角矩阵，得出存在正交矩阵P使得PTAP?。注意相似与合同的区别，相似矩阵是B?P-1AP，合同矩阵是C?QTAQ。若是存在可逆阵Q使得C?QTAQ?，则进行可逆的线性代换y?Qx即可把二次型化为f(x1,x2,?,xn)?xTQTAQx?yT?y，即化为只含平方项的标准二次型。化为标准二次型有三种方法：配方法、正交矩阵方法、初等变换法。惯性定理描述了只要合同变换时运用的是可逆矩阵则正负惯性指数是不变的。正定矩阵的定义、性质、判定方法、等价描述是考察的一个重点。重点内容：1.三种化为标准型的方法(严格按照)2.正定矩阵的定义、性质、判定方法、等价描述。线性代数及其应用一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理，)按行展开：A?ai1Ai1?ai2Ai2?ainAin,i?1,2,?,n按列展开：A?a1jA1j?a2jA2j?anjAnj,j?1,2,?,n定理ai1Aj1?ai2Aj2?ainAjn?0,i?j；a1iA1j?a2iA2j?aniAnj?0,i?j.3、行列式的性质(1)|A|?|A|.(2)若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即T?1,?,?j?j,?,?n?1,?,?j,?,?n?1,?,?j,?,?n.(2)若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.(3)初等变换性质1?ri?kA?B?A?B;或ci?k?k?ri+lrjA?B?A?B;?或cj+lci?ri?rj?B?A?B.?A?或ci?cj?4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)；范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式AOOOBnB?ACO?CB?AAOD?OBB?ABAD?(?1)mnABAmOBO二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1)乘法的结合律?二项式定理-例?(2)方阵的幂的求解?矩阵?列?行-例、例?可对角化?例?(AT)T?A?TTT?(A?B)?A?B(3)转置的性质：?TT(kA)?kA?TTT?(AB)?BA?|A|?|AT|;?(4)方阵的行列式：?|kA|?kn|A|;?|AB|?|A|B|.?(5)分块运算(转置、乘法-例、)2、初等变换及初等矩阵(1)左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)ri?k?A?B?Emi(k)A?B;?ri+lrj初等行变换?B?Emi?j(l)A?B;?A?ri?rjA?B?Emi,jA?B;?ci?k?A?C?AEni(k)?C;?cj+lci初等列变换A?C?AEni?j(l)?C;?ci?cj?A?C?AEni,j?C.?(2)初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即1E?i(k)?E?i()?;E?i?j(l)?E?i?j(?l)?;?1?1E?i,j?E?i,j?.3、可逆矩阵?1?|A?1|?|A|?1?1?1(A)?A?(1)定义、性质?(AT)?1?(A?1)T?(kA)?1?k?1A?1?1?1?1?(AB)?BA?A?A?AA?|A|E?(2)伴随矩阵?|A?|?|A|n?1?r(A)与r(A?)的关系(书111页38题)?(3)判定：A可逆?|A|?0?A?1?伴随矩阵法:A?A?(4)逆矩阵的求法?AB?E及运算律(命题)?行?1?初等变换法:A,E?E,A?(5)分块矩阵的逆?A?1?AO?OB?O?1O?,?1?B?O?OA?1?BO?A?1B?1?.O?(6)矩阵方程的求解：AX?C，其中A可逆.法1X?AC.?1?En,X?X?AC.法2A,C?4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1)矩阵的秩与性质(101页，105-107页)0?r(A)?minm,n；子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；r(kA)?r(A),k?0;r(A)?r(A)；T初等行变换?1?AO?r?r(A)?r(B)；OB?r(A?B)?r(A)?r(B)；r(A)?r(B)?n?r(AB)?r(A)(或r(B)；若AB?O，则r(A)+r(B)?n，其中A?Pm?n，B?Pn?s.设A?Rm?n，则r(AA)?r(AA)=r(A).TT(2)求矩阵的秩(理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)初等变换A?R(行阶梯形矩阵)，则r(A)?r(R)?R的非零行的个数.(3)矩阵的相抵(等价)A?B?r(A)?r(B)?可逆P,Q,使得PAQ?B.r(PAQ)?r(PA)?r(AQ)?r(A)，其中P,Q可逆.r(A)?r?PAQ?Er?OO?ErA?P或?OO?O?Q.O?三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题、定理、)?定义-转化为齐次线性方程组的求解?秩-矩阵、向量组的秩(定理,定理,命题)(1)证明方法-?坐标化方法-定理?基本结论(2)基本结论判断向量组线性相关充要：?1,?2,?,?s线性相关?其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.?某一个部分向量组线性相关?充分：?1,?2,?,?s线性相关?向量的个数s大于向量分量的个数?,?,?,?被个数少于s的向量组线性表示s?12判断向量组线性无关2、等价向量组(1)()可由()线性表示，则r()?r().(2)()与()等价，则r()?r().3、子空间的验证(1)非空、加法和数量乘法的封闭；(2)命题(生成子空间)-例，例4、向量组的秩及极大无关组(命题，定理及推论2)、(线性)子空间的基与维数(1)写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2)对于W?L(?1,?2,?,?s)，则dimW?r(?1,?2,?,?s)，即生成子空间的维数与基就是向量组?1,?2,?,?s的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：?x1?1?x2?2?xn?n在基?1,?2,?,?n下的坐标?x1,x2,?,xn?.基变换公式：(?1,?2,?,?n)?(?1