基础知识 一、直线与平面平行 1定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线和这个平面平行 2判定方法： (1)用定义,二、平面与平面平行 1定义：如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行 2判定方法： (1)用定义,易错知识 一、几何定理应用失误 1如下图所示，已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1、CC1上的点，且AEC1F，则四边形EBFD1的形状为_ 答案：平行四边形,2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，则平面MNP与平面A1BD的位置关系为_ 答案：平行,二、逻辑推理失误 3如下图四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为_ 答案：平行,回归教材 1判断下列命题的真假 若mn，n，则m() 若m，n，则mn() 若m，n，m，n，则() 若m，n，则mn() 若m，m，则() 若m、n为异面直线，m，n，m，n，则() 若直线l上有两点到平面的距离相等，则l(),若m，n，mn，则() 若m，m，l，则ml() 若m，m，l，则ml() 平面内有不共线三点到平面的距离相等，则() 若mn，m，则n() 若a、b与平面所成的角相等，则ab(),2(2010湖北武汉调研)若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是 ( ) A内的所有直线均与直线a异面 B内不存在与a平行的直线 C内的直线均与a相交 D直线a与平面有公共点 解析：依题意知，直线a可能位于平面内，也可能与平面相交 当直线a位于平面内时，A、B、C均不正确，因此选D. 答案：D,3(2010山东高考改编题)在空间中，下列命题正确的是 ( ) A垂直于同一直线的两条直线平行 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行,解析：选项A，在空间垂直于同一直线的两直线可以平行、相交或异面，关系不确定；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确 答案：D,4过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( ) A4条 B6条 C8条 D12条 解析：如图，与EF平行的有4条，与HF平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D. 答案：D,5正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是_ 解析：由直线与平面平行的判定定理可知，BD1与平面ACE平行 答案：平行,证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在平面内找到一条直线和已知直线平行即可除此之外也可利用面面平行及垂直关系来证 【例1】 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且APDQ. 求证：PQ平面BCE.,解析：证法一：如图所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连结MN、PQ. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD. 又APDQ，PEQB. PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形， PQMN. 又MN平面BCE，PQ平面BCE， PQ平面BCE.,规律总结：(1)本题易错点：证法一、证法二中容易忽视PQ平面BCE的条件，直接得PQ平面BCE. (2)方法总结：证法一、证法二均是依据线面平行的判定定理在平面BCE内寻找一条直线l，证得它与PQ平行 特别注意直线l的寻找往往是通过过直线PQ的平面与平面BCE相交的交线来确定 证法三是利用面面平行的性质，即若平面，l，则l； 证明线面平行的常见方法：定义法，判定定理，面面平行的性质，反证法,(2009天津)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD. (1)证明PA平面BDE； (2)证明AC平面PBD.,命题意图：本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 解析：(1)证明：设ACBDH，连结EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点又由题设，E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA平面BDE.,(2)证明：因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDBD，故AC平面PBD.,线面平行的性质定理是证明线线平行的主要方法，但必须先过线作出或找出辅助平面除此之外，还可以利用垂直关系证明平行,【例2】 如图所示，AC平面MNPQ，BD平面MNPQ. (1)求证：MNPQ是平行四边形； (2)如果ACBDa，求证：四边形MNPQ的周长为定值,解析思路：(1)证明四边形MNPQ的两组对边分别平行； (2)根据(1)的结论，利用相似三角形的对应边成比例，用a，AB，AM或BM表示出MN和MQ，写出平行四边形MNPQ的周长，证明其为定值 证明：(1)AC面MNPQ，且面ACB面MNPQMN， ACMN， 同理ACPQ，MNPQ， 同理可证MQNP， MNPQ是平行四边形,如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E为AC上一点，若AB1平面C1EB，求：AE：EC.,解析：连结B1C交BC1于点F， 则F为B1C中点AB1平面C1EB， AB1平面AB1C 且平面C1EB平面AB1CEF， AB1EF. E为AC中点 AE：EC1：1. 点评：此题关键是找出辅助面AB1C，从而利用线面平行的性质定理证明AB1EF，确定E点位置.,两个平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行于另一平面这是判定两平面平行的主要方法还可以通过一些垂直关系来判定,【例3】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点 (1)求证：E、B、F、D1四点共面； (2)求证：平面A1GH平面BED1F.,解题思路：(1)E，B，F，D1四点共面，只要证EBD1F； (2)要证两个平面平行，只要证一个平面内的两条相交直线都和另一个平面平行即可,解析：(1)连结FG. AEB1G1，BGA1E2， BG綊A1E，A1G綊BE. C1F綊B1G， 四边形C1FGB1是平行四边形， FG綊C1B1綊D1A1， 四边形A1GFD1是平行四边形 A1G綊D1F，D1F綊EB， 故E、B、F、D1四点共面,FBBEB， 平面A1GH平面BED1F. 方法二：如图所示，取GB中点M，连结C1M，则由已知得HGC1M， 又C1FBM1，C1FBM， 四边形C1FBM为平行四边形， C1MFB，HGFB， 又由(1)知A1GBE且HGA1GG，FBBEB， 平面A1GH平面BED1F.,如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求证：平面A1BD平面CB1D1； (2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离 命题意图：主要考查面面平行的判定和两平行平面间距离的求法,分析：由正方体的对称性，注意AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1，设AC1分别交平面A1BD、CB1D1于M、N，则MN的长即为所求再在对角面A1ACC1中求MN的长 解析：(1)证明：A1BCD1为矩形A1BD1C. 又D1C平面CB1D1，A1B平面CB1D1， A1B平面CB1D1.同理A1D平面CB1D1. 又A1BA1DA1，平面A1BD平面CB1D1.,(2)解：连结AC1分别交平面A1BD、平面CB1D1于M、N，连结AC、A1C1. BDAC，由三垂线定理知BDAC1. AC1平面A1BD. 又平面A1BD平面CB1D1. AC1平面CB1D1. MN的长就是平面A1BD与平面CB1D1的距离 如右图所示，在矩形A1ACC1中 平面A1BD平面CB1D1， 平面A1BD平面A1ACC1A1O. 平面CB1D1平面A1ACC1CO1，,总结评述：求平面A1BD和平面CB1D1的距离可以转化为求C到平面A1BD的距离，再利用体积变换(VA1BCDVCA1BD)求点面距离十分方便.,在应用面面平行的性质时，应准确构造平面，并且常与公理3的有关知识确定平面在应用过程中，转化目的要明确，方向要抓牢一般转化为线面平行、线线平行,【例4】 如图所示，平面平面，点A，C，点B，D，E，F分别在线段AB，CD上，且AE:EBCF:FD. (1)求证：EF，EF； (2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长,解析：(1)当AB，CD在同一平面内时，由于，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD， AE:EBCF:FD， EFBD，又EF，BD，EF. 同理EF. 当AB与CD异面时，过A作DC的平行线交于H，连结HD、HB. ，AHCD， 四边形ACDH是平行四边形,在AH上取一点G，使AG:GHCF:FD，连结GE，GF， 又AE:EBCF:FD， GFHD，EGBH，GF，EG. 又EGGFG，平面EFG平面. EF平面EFG，EF. 同理EF. 综上可知，EF，EF.,(2)如图，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF. E，F分别是为AB，CD的中点， MEBD，MFAC， EMF为AC与BD所成的角(或其补角)， EMF60(或120)， 在EFM中，由余弦定理得,误区分析：解答本题过程中易忽视AB与CD异面的情况，导致错误原因是空间概念没有建立起来 规律总结：1.两个平面平行的性质： (1)和没有公共点； (2)，a(面面平行线面平行)； (3)性质定理：，a，bab(面面平行线线平行)； (4)，ll(面面平行线面垂直),2利用两个平面平行可以实现线面平行或线线平行的转化特别是： (1)若平面，aa，这个结论的证明可利用反证法或定义法或面面平行的性质定理 (2)由面面平行到线线平行要借助于与两平行平面都相交的第三个平面,如图所示，已知平面平面平面，且位于与之间，点A、D，C、F，ACB，DFE，AFM，连结BM、EM、BE.,1平行问题的转化关系 2直线与平面平行的重要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质 3平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需的条件是什么 4可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决