立体几何大题1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，ACB90，AC4cm，CD是斜边上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB4cm，则二面角ACDB为直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面角（2）取ABC的中心P，连DP，则DP满足条件 ABC为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥DABC是正三棱锥，由P为ABC的中心，知DP平面ABC， DP与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为 2如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AFA1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（）求证：D1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；（）求二面角BAEC的大小.证（）ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABCEB =33 = （10分） 解（）连CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC为二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中，tgBFC =， BFC = arctg.ABCA1B1C1M第3题图即二面角BAEC的大小为arctg. 3如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（）求点B到平面AMC1的距离；（）求二面角MAC1B的正切值.答案：（I）证明：AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC1且AM=MC1在正三棱柱ABCA1B1C1中，有CC1底面ABC.C1M在底面内的射影为CM，由三垂线逆定理，得AMCM.底面ABC是边长为1的正三角形，点M为BC中点.（II）解法（一） 过点B作BHC1M交其延长线于H. 由（I）知AMC1M，AMCB， AM平面C1CBB1. AMBH. BH平面AMC1. BH为点B到平面AMC1的距离. BHMC1CM. AM=C1M= 在RtCC1M中，可求出CC1 解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则由（I）知 AMC1M，AMCB，AM平面C1CBB1AB=1，BM= （III）过点B作BIAC1于I，连结HI. BH平面C1AM，HI为BI在平面C1AM内的射影.HIAC1，BIH为二面角MAC1B的平面角.在RtBHM中，AMC1为等腰直角三角形，AC1M=45.C1IH也是等腰直角三角形.由C1M= 4如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点 （）求证：AF平面BCE；（）求多面体ABCDE的体积；（）求二面角C-BE-D 的正切值 证：（）取CE中点M，连结FM，BM，则有四边形AFMB是平行四边形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，则DEAF又ACD是等边三角形，则AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，则BM平面CDE （）设G为AD中点，连结CG，则CGAD由DE平面ACD，平面ACD，则DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，连结CH，则CHBECHG为二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，则，不难算出，5已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（）求证：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥DAMN的体积.（）连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC的中线， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，则AN是RtPAC斜边PC的中线，即 又M是AB的中点， （也可由三垂线定理证明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC. 则PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，则必有PM=MC. 此时.即二面角PCDA的大小为 （），连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA. 且NO平面AMD，由PA=aABCDPA1B1C1D1第6题图MN. 6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。 （I）求二面角B1MNB的正切值； （II）证明：PB平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。 解：（I）连接BD交MN于F，则BFMN， 连接B1F B1B平面ABCD B1FMN 2分 则B1FB为二面角B1MNB的平面角 在RtB1FB中，设B1B=1，则 4分 （II）过点P作PEAA1，则PEDA，连接BE 又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1 又BEB1M PBMB1 又MNAC，BDAC，BDMN 又PD平面ABCD PBMN，所以PB平面MNB1 11分 （III），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：7如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平面AMN所成的角的大小为 8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小为 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.BC1平面AB1C， 线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.点A1到平面AB1C的距离为 解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 点A1到平面AB1C的距离为 9在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1EBC1交CC1于点E ()求证：AC1平面B1D1E； ()求三棱锥C1B1D1E1的体积； ()求二面角EB1D1C1的平面角大小(1)证明：连接A1C1交B1D1于点OABCDA1B1C1D1是长方体AA1平面A1B1C1D1，A