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河南省周口市淮阳县第一高级中学2018-2019学年高二上学期理数月考试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)1曲线在点处的切线的倾斜角为( )ABCD2下列求导运算正确的是( )ABCD3若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上,则函数的图象是( )4函数有极值的充要条件是( )ABCD5已知函数,则与围成的封闭图形的面积为( )ABCD16设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,且,则不等式的解集是( )ABCD7已知有极大值和极小值,则的取值范围为( )A BCD8若,则( )A0BC1D以上均不对9设函数的导函数为,且,则( )A0BCD210已知,且,则下列式子中正确的是( )ABCD11若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是( )ABCD12已知函数,则下列结论正确的是( )A若是的极值点,则在区间内是增函数B若是的极值点,则在区间内是减函数C,且D在上是增函数二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13已知函数,则的最小值为 .14 .15已知函数有两个零点,则的取值范围是 .16已知函数若有,则的最大值为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数在处有极值,求的值及的单调区间18(12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为(1)求的值;(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。19(12分)已知函数在处的切线方程为,数列满足(1)求数列的通项公式以及前项和;(2)求的最小值。20某校内有一块以O为圆心,R(单位:米)为半径的半圆形荒地(如图),校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCD区域(阴影部分)用于种植观赏植物,OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元。(1)设(单位:弧度),用表示弓形BCD的面积;(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大?并求出该最大值。21已知函数(1)求函数在上的最小值;(2)若函数与的图象恰有一个公共点,求实数的值.22设函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问:是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。答案及解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)1曲线在点处的切线的倾斜角为( )ABCD1答案:D 解析:处的切线斜率为,倾斜角为2下列求导运算正确的是ABCD2答案:B 解析:,3若函数的图象的顶点在第四象限且开口向上,则函数的图象是( )3答案:A 解析:函数的图象的顶点在第四象限,开口向上,函数是先减后增,且极小值点为正,先有,后有,当时,4函数有极值的充要条件是( )ABCD4答案:C 解析:,由题意得有实数解,即,所以5已知函数,则与围成的封闭图形的面积为( )ABCD15答案:C 解析:6设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,且,则不等式的解集是( )ABCD6答案:D 解析:设,则,所以是上的奇函数,当时,所以是上的增函数,根据奇函数的对称性可知在上也是增函数,所以的解集为7已知有极大值和极小值,则的取值范围为( )A BCD7答案:D 解析:,依题意有两个不相等的实数根,解得:或8若,则( )A0BC1D8答案:1或 解析:, 或,时,当时,9设函数的导函数为,且,则( )A0BCD29答案:B 解析:,10已知,且,则下列式子中正确的是( )ABCD10答案:B 解析:设,则,在上,单调递增,所以,即;设则,当时,单调递减,当时,单调递增,C,D均不正确。11若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是( )ABCD11答案:B 当时,单调递减,当时,单调递增,依题意得,12已知函数,则下列结论正确的是( )A若是的极值点,则在区间内是增函数B若是的极值点,则在区间内是减函数C,且D在上是增函数12答案:D 解析:令,得或,列表如下:增减减增因为在上不是单调函数,可判断A,B错,又,可判断C错,易知D正确。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13已知函数,则的最小值为 .13答案:,解析:令,得,当时,单调递减,当时,单调递增,所以14 .14答案: 解析:15已知函数有两个零点,则的取值范围是 .15答案: 解析:,易知在上单调递减,在上单调递增,由题意可得所以16已知函数若有,则的最大值为 .16答案:3 解析:,当时,单调递增,所以,依题意得解得:,所以的最大值为3三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数在处有极值,求的值及的单调区间17解:的定义域为,由题意可得解得:,显然在上是减函数,且,所以当时,单调递增;当时,单调递减。所以的单调增区间是,的单调减区间是18(12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为(1)求的值;(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。18解:(1)为奇函数,的最小值为,又直线的斜率为,解得(2),列表如下:00极大值极小值函数的单调递增区间是和,函数在上的最大值是18,最小值是19(12分)已知函数在处的切线方程为,数列满足(1)求数列的通项公式以及前项和;(2)求的最小值。18解:(1),因此处的切线斜率是2,又当时,则切点为,所以切线方程为,所以,所以是首项为公差为2的等差数列,因此(2),令,令,可得,易知是的最小值点。因为,又,所以当时,取得最小值,最小值为20某校内有一块以O为圆心,R(单位:米)为半径的半圆形荒地(如图),校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCD区域(阴影部分)用于种植观赏植物,OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元。(1)设(单位:弧度),用表示弓形BCD的面积;(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大?并求出该最大值。20(1)扇形的面积(2)设总利润为元,种植草皮利润为元,种植花卉利润为元,种植学校观赏植物成本为元。则设则,令,得,当时,单调递减;当时,单调递增。所以当时,取得极小值,也是最小值为此时总利润最大,则最大总利润为所以当扇形的圆心角为时,总利润取得最大值为元21已知函数(1)求函数在上的最小值;(2)若函数与的图象恰有一个公共点,求实数的值.21(1)令,得当时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在区间上的最小值为当时,函数在区间上单调递增,此时函数在区间上的最小值为(2)由题意得,在上有且只有一个根,即在上有且只有一个根。令,则,易知在上单调递减,在上单调递增,所以,由题意可知,若使与的图象恰有一个公共点,则22设函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问:是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。22解:(1)的定义域为,令,其判别式时,则,故在区间上单调递增当时,的两根都小于0,在上,则,故在区间上单调递增当时,的两根为,当时,即;当时,即,单调递减;当时,即故在和上单调递增,在上单调递减。(2)由(1)可知当时,函数有两个极值点,又有(1)知,于是,若存在,使得,则,即 (*)再由(1)知,函数在上单调递增,且,而,这与(*)式矛盾,故不存在,使得- 10 -
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