专题六 在图形运动中探究,“形”动,这里包括点动、线动和形动,而初中阶段一定是以点动问题为最重要.形动,则一定会引起图形中其他部分的形状、大小和位置发生变化,研究这些变化规律,就形成数学问题. 形动产生的数学问题有时会和函数知识相联系,如2016年安徽数学中考第22题、2018年安徽数学中考第10题等就是和二次函数知识相联系;有时也会和点的轨迹等知识相联系,如2016、2017年安徽数学中考的第10题以及2018年安徽数学中考第14题都是和点的轨迹( 弧和直线 )相联系.有关与函数知识相联系的问题我们将在本书专题八 函数图象,建模解题中具体解决,这里只是点到为止.,类型1,类型2,“形”动“脑”动,函数解题 典例1 如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG,PF相交于点O.在点P从点A到点B的运动过程中,APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.,类型1,类型2,【解析】由题意可得EP为RtAPE的外接圆的直径,PE的中点M即为圆心,过点M作MNAB于点N,MNAE,由MNAE可得成比例线段,从而得到MN关于其他线段的函数关系式,利用二次函数的最大值可求MN的最大值.,类型1,类型2,【名师点拨】 ( 1 )本题的关键在于当点P在AB边上移动时,虽然APE的外接圆的圆心M也随之运动,但MNP和PBC一直保持相似,在动中找到MNPPBC这个规律性的结论,得到 .再设NP=x,MN=y,得到y与x的函数关系式,利用函数知识解答.注意经历“图形运动图形规律函数式问题解决”这个过程,感悟用“函数”解“图形”这种方法. ( 2 )“形”动不仅可以得到二次函数,还可以得到一次函数和反比例函数,这类问题在本书专题二 用“数”解“形”中已有详细解读,这里不再赘述.,类型1,类型2,“形”动“脑”动,轨迹解题 典例2 ( 2018安徽第14题 )矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,类型1,类型2,【解析】本题中找到满足条件的点P,E很关键,而其中点P尤为关键.APD是等腰三角形,即PA=PD或DP=DA或PA=AD.当PA=PD时,则点P在AD的垂直平分线MN上( 设直线MN与AD,BC两边的交点为M,N ),又点P在矩形的内部,点P在线段MN上,当满足PBEDBC时,且点E在边BC上,点E与N重合,则PE为BDC的中位线( 如图1 ),即PE=3;当DP=DA时,即点P在以D为圆心,DA为半径的圆弧上,又点P在矩形的内部,且PBEDBC,即可得PBE( 如图2 ),这时点P在线段BD上,且DP=DA=8,PEBC,由PBEDBC,可得 ;当PA=AD时,即点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上,又点P在矩形的内部,如图3,易得PBEDBC,即PBEDBC不可能成立,综上,PE的长为3或 .,类型1,类型2,命题拓展 考向一 利用点动成直线解题 有关点的运动轨迹还有很多,如本书专题四 利用图形变换添加辅助线中的典例2直线l也是点的轨迹. 考向二 利用点动前后保持图形相似的特征解题 ( 2018合肥包河区一模 )如图,在ABC中,已知AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一动点( P不与点B,C重合 ),Q是AC上另一动点( Q不与点A,C重合 ),运动时始终保持APQ=B.当APQ为等腰三角形时,则PB的长为 . 【解析】当AP=PQ时,易得ABPPCQ,PC=AB=6,即PB=2;当AQ=PQ时,易得ABCPAC, PC=4.5,即PB=3.5; 当AQ=AP时,则AQP=APQ=C,此时P与B重合,不合题意.综上,PB的长为2或3.5.,2或3.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.如图,在ABC中,BC=8,AB= ,B=45,直线l从A向BC平行移动,分别与AB,AC交于M,N,设MN=x,点M到BC的距离为y,则y关于x的函数图象的大致形状是 ( ),B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.如图,AOB为等边三角形,且边长为定长,C为射线BA上一个动点,连接OC,以OC为边作等边三角形COD,设OA为x,点D到射线BO的距离为y,当x增大时,y值 ( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.不确定 【解析】过点D作DEBO于点E,过点O作OMAB于点M, B,O,E在同一条直线上,AOC+DOE=180-60-60=60, AOC+ACO=60,ACO=DOE,易证OCMDOE,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,3.如图,在AOB的一边OA上截取线段OC=2,P,Q分别是另一边的两个动点,运动中时刻保持OCP=OQC,记OP=x,OQ=y,则y关于x的函数图象大致是 ( ),D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,B,A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】直线满足条件,则以D为圆心, 为半径作圆,那么直线是圆D的切线.直线满足条件有两种情况:一是直线与AC平行,这时与圆D相切的直线有两条( 如图所示 );二是直线经过AC的中点O,这时直线与圆D相交,不可能相切,故这样的直线不存在.综上可知,满足条件的直线共有两条.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设AMN的面积为y( cm2 ),运动时间为x( 秒 ),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 ( ),A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.如图,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,点D,E分别在AC,BC上移动( 点D,E均不与ABC的顶点重合 ),移动时保持DEC=A,设CD=x,DE=y.则y关于x的函数关系式为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.等腰ABC中,顶角A为40,P为ABC所在的平面上一动点( 点P与点A在BC所在直线的同侧 ),P到A的距离等于BC,且BP=BA,则PBC的度数为 .,30或110,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.( 2018广州节选 )设P( x,0 )是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象. 解:P( x,0 )与原点的距离为y1, 当x0时,y1=OP=x,当x0时,y1=OP=-x, y1关于x的函数解析式为 即为y=|x|,函数图象如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9.如图,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC. ( 1 )求A+C的度数; ( 2 )连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由; ( 3 )若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,解:( 1 )在四边形ABCD中,B=60,D=30, A+C=360-B-D=360-60-30=270. ( 2 )如图1,将BCD绕点B逆时针旋转60,得到BAQ,连接DQ, BD=BQ,DBQ=60,BDQ是等边三角形, BD=DQ, BAD+C=270,BAD+BAQ=270, DAQ=360-270=90, DAQ是直角三角形, AD2+AQ2=DQ2, 即AD2+CD2=BD2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,( 3 )如图2,将BCE绕点B逆时针旋转60到BAF,连接EF, BE=BF,EBF=60,BEF是等边三角形, EF=BE,BFE=60, AE2=BE2+CE2,AE2=EF2+AF2,AFE=90, BFA=BFE+AFE=60+90=150, BEC=150, 动点E在四边形ABCD内部运动,满足BEC=150, 以BC为边向下作等边OBC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象经过x轴上的两点A( 4,0 ),B( -2,0 ),与y轴交于C点. ( 1 )直接写出C点的坐标. ( 2 )求此二次函数的表达式. ( 3 )连接AC,BC,P是线段AB上的一个动点( P不与A,B重合 ),过点P作PDAC,交BC于点D,连接CP.当P在什么位置时,PCD的面积取最大值?求出这个最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,11.已知P为正方形ABCD内一点. ( 1 )如图1,点E在AD边上,若PA=PC=PE,延长EP与AB的延长线交于点F. 求证:PE=PF; 求EPC的度数; ( 2 )如图2,若PB=1,PC=2,PD=3,求BPC的度数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,解:( 1 )过点P作PMAE于点M,PA=PE,AM=ME, PMAB,PE=PF. 连接BP并延长,PA=PC,易得ABPCBP, ABP=CBP=45,BP的延长线一定经过D点, BAP=BCP,DPC=DPA, PMAE,PA=PE,PM平分APE, EPM=APM=BAP, EPC=DPC+DPE=2DPC-2APM=2( 45+BCP )-2BAP=90. ( 2 )如图2,过点C作CQCP,并截取CQ=CP,连接PQ,BQ, 易得PCQ为等腰直角三角形,CPQ=45,PQ= , 易证DCPBCQ,BQ=PD=3, PB=1,PB2+PQ2=BQ2,BPQ=90,即BPC=90+45=135.,