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周培源力学竞赛 试题(答案) 第六届第十届 第六届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:清华大学 满分:120 分 时间:3 小时 一、声东击西的射击手(30 分) 射击的最高境界,不仅是指哪打哪,还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不 同的射击场。在这里,共有 10 个小球 i P(号码从 0 到 9) ,你需要把某个小球放在 圆弧的适当位置上,然后静止释放小球即可。 假设系统在同一竖直平面内(如图所示) ,不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R, B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M,长为0.5LH=,悬挂点C 与B处于同一水平位置,BC距离为S。 小球 i P质量均为m, 不计半径, 小球 i P与 CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 i e,且满足/9 (0,1,2,9) i eii=。 (1)为使小球 1 P击中杆上D点,试确定静止释放时的,距离S有何限制? (2)假设某小球击中CD杆上的E点,为使E点尽可能远离D点,试确定该 小球的号码及静止释放时的,此时CE的距离是多少? (3)假设某小球击中CD杆上的E点,为使悬挂点C处的冲量尽可能小,试 确定该小球的号码及静止释放时的,此时CE的距离是多少?冲量有多大? O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E 二、骄傲自满的大力士(35 分) 有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半,剩下的半边球门如图:立柱OA垂直固定于水平地面上,沿x轴方 向,高为2.4mH =,横梁AB平行于地面,沿z轴负方向,长为LH=。立柱和 横梁均为实心圆柱,直径均为0.06mD =。夫人经过计算后想出了主意:和丈夫 比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁B端中点的绳索,只能用 静力拉球门;绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计, 长度不限。球门不计自重,采用第三强度理论,材料的屈服应力57MPa s =。 大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是 0.5=,自己重量为 1 700NG =,夫人重量为 2 510NG =。为了显示自己的大 度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心,在 地面上画了一个半径0.8mR =的圆圈, 要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈, 但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定让绳索与xy平面平行,但绳索与地面的夹角不 知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力气,但是球门 居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了 (1)当大力士让绳索与地面成角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉 力与大力士拉绳的姿势有无关系? (2)当大力士让绳索与地面成角度,球门中最危险点的坐标值是多少? (3)在限制条件下,角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用 什么方式把球门拉倒? B C R x y zO A H L B C R x y zO A H L 三、顾此失彼的挑战者(30 分) 魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上 平衡,有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。 魔术师首先介绍道具 (如图所示) : 两个透明的水晶圆球 1 O和 2 O; 一个滚轴D; 一个透明的水晶平板AB,A端水平固定在墙中,不考虑自重时AB板与水平面平 行。在表演时,滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置,且A与D总在同 一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为l,单位长度重量为q,弯曲刚度为 EI。两均质水晶圆球的半径均为r,重量均为Pql=。 假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与 板的接触变形和滚动摩擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲,如果不安装滚 轴D,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴D安装在AB板的B处,此时AB板由于自重所导致的最大 挠度在何处? (2) 如果把滚轴D安装在AB板之间的某处, 有可能使水晶球 1 O在板上静止, 且球与板的接触点恰好是B点。 如果不需要具体计算, 如何说明滚轴D是更靠近A 点还是更靠近B点?定性画出此时AB板挠度的示意图。 (3)如果把滚轴D安装在AB板的中点,能否让水晶球 1 O在AD之间某位置 平衡,接触点为 1 C;同时让水晶球 2 O在DB之间某位置平衡,接触点为 2 C。观众 试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成功。如果你认为本问题有解, 1 AC 和 2 AC的水平距离是多少?如果没有解,如何证明? AB D O1 O2 AB D O1 O2 四、技高一筹的魔术师(25 分) 魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题) 。 魔术师首先撤去了滚轴D,观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放, 都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水晶球放在板的相同位置, 掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面 涂了透明的新型材料,很光滑。说完在后落下的水晶球 1 O表面贴上了小纸片以示 区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量) 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹,声称已经把魔力注入其中,然后小心地把贴 有纸片的 1 O球静止放在板上(接触点为B点) ,同时让纸片远离接触位置,松手后 水晶球 1 O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。 在观众的掌声中,魔术师撤走了 1 O球,把 2 O球拿了起来。 “这个水晶球不太 听话, 我的魔力只能管 1 分钟。 ” 魔术师说完把 2 O球转了转, 然后更加小心地把 2 O 球也放在板上(接触点为B点) 。观众发现, 2 O球在B点停留了大约 1 分钟,然 后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来 (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? (2)水晶球 1 O可在B点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及 的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 (3)水晶球 2 O只能在B点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉 及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。 A B D O1 O2 A B D O1 O2 1 第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案参考答案 清华大学航天航空学院 高云峰 一、声东击西的射击手(30 分) (1) 2 arccos 1 2 S HR = ;S的限制为2SHR。 (2) 9 1e =(号码为 9) ;0CE =; 2 2 arccos 1 16 S N HR = ,N为与地面的碰撞次数。 (3) 6 6 9 e =(号码为 6) ; 1 3 CEH=;0 C I =; 2 2 6 arccos 1 4(1) S eHR = + 。 二、骄傲自满的大力士(35 分) (1) 1 cossin G T = + ;大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。 (2)危险点坐标() 11 22 0, cos , -sinDD (3)大力士在0=时最接近拉坏球门: 13 56.0Mpa=;夫人进入圆圈内,90=时可以 有 13 57.9MPa= 三、顾此失彼的挑战者(30 分) (1)最大挠度处: 1533 0.58 16 xll = (2)滚轴D更靠近B点;挠度示意图如下: (3)解不存在,证明见解题过程。 四、技高一筹的魔术师(25 分) (1)水晶球 2 O涂了新型材料。 (2)关键参数: 1 tan B ;纸片重量 sin 1 sin B B P G , ( 3 2 3 B ql EI =) 。 (3)关键参数: 2 tan B =;初始角速度 0 150 sin B g r 。 A B DA B D 第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:西北工业大学出题学校:西北工业大学 满分:满分:120 分分 时间:时间:3 小时小时 一、小球在高脚玻璃杯中的运动一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分分) 一半球形高脚玻璃杯, 半径 r =5cm, 其质量 m1=0.3 kg, 杯底座半径 R =5 cm, 厚度不计,杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量1 . 0 2 =mkg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下,小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中: (1)高脚玻璃杯会不会 滑动; (2)高脚玻璃杯会不会侧倾(即一侧翘起) 。 二、杂耍圆环二、杂耍圆环(40 分分) 1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出,起始圆环一跳一跳地向前滚 动,随后不离开地面向前滚动,为什么? 2.杂技演员拿出一个匀质圆环,沿粗糙的水平地面向前抛出,不久圆环又自 动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心 O 点的速度大小为 0 v,圆 环的角速度为 0 ,圆环半径为 r,质量为 m,圆环与地面间的静摩擦因数为 s f, 不计滚动摩阻,试问: (1)圆环能自己滚回来的条件是什么? (2)圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动,在此运动过程中,圆环所走过 的距离是多少? (3)当圆环在水平地面上无滑动地滚动时,其中心的速度大小为 v1,圆环 平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为 h(h 2 r 方向如图所示。 (2)距离: s 2 02 21s 8g )v-(r )(g 2 1 s f ttf = (3)圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 :g)hr (4r)h2r(vhg4r 222 1 2 , max nN=,则表示作用力在右边;如果 min 1n=, max nN=, 木条垂直推时 受力图,2 分 1 分 3 分, 任意一个 均可以 1 分 1 分,对 A 点 取矩也可以。 注:按不同的 摆法,N 个小 球可能把木条 平 均 分 为 Q 段,QN、N 1、 N1, 均 可以。 9 则表示作用力在中间。 设作用力在左边,则 min 1n=,杆转动后 AC 部分 n 个小球运动,有 maxminmax (1)nnnn=+= (45) 则 AC 长度/nL Q=,把和 n 代入(44) ,得 22 max max 2 42 nQ num nQ = (, 1, 1QN or Nor N=+) (46) 由于小球运动的号码是整数,所以上式还需要取整数。最后得到作用力的位置在 , 1num num+号码的小球之间。 (3)沿 AB 方向的推力 1 FMg=;垂直 AB 推时,从(42)和(43)中还可以解出 22 2 ( (2 )(2 )MgLaLaL F L + = (47) 把 F1 与 F2 的比值算出来,设 22 2 1 (2 )(2 )LaLLaF FL + =,可以得到 21, 10.414, 1= (48) 即0, 21)0, 0.414)=是不可能出现的。因此魔术师根据值的范围就可以肯定观众 的数据有否有问题。若 21, 2 22)0.414, 0.828)=时,观众故意报错一半就会被 发现。若2 22, 10.828, 1=时,观众故意报错一半不会被发现, 五、对称破缺的太极图(20 分) 【解】 : (1)由于惯性矩和惯性积的定义:
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