共 64 页 1 第四十六讲第四十六讲 直线直线 平面平行的判定及其性质平面平行的判定及其性质 共 64 页 2 回归课本回归课本 共 64 页 3 1.直线与直线直线与直线 (1)空间两条直线的位置关系有空间两条直线的位置关系有平行平行 相交相交 异面异面三种三种. (2)过直线外一点过直线外一点有且仅有有且仅有一条直线和这条直线平行一条直线和这条直线平行. (3)公理公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相平行平行,又叫做空又叫做空 间平行线的传递性间平行线的传递性. (4)定理定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行, 并且方向相同并且方向相同,那么这两个角那么这两个角相等相等. 共 64 页 4 (5)空间四边形空间四边形:顺次连结不共面的四点顺次连结不共面的四点A B C D所构成的图所构成的图 形形,叫做叫做空间四边形空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形这四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边四边形的边;连结连结 不相邻的顶点的线段叫做不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线空间四边形的对角线.空间四边空间四边 形用表示顶点的四个字母表示形用表示顶点的四个字母表示. 共 64 页 5 2.直线与平面平行直线与平面平行 (1)直线与平面的位置关系有直线与平面的位置关系有: 平行平行:直线和平面没有公共点直线和平面没有公共点 相交相交:直线和平面有且只有直线和平面有且只有1个公共点个公共点 直线在平面内直线在平面内:直线和平面有无数个公共点直线和平面有无数个公共点,其中其中 也叫也叫 直线在平面外直线在平面外 共 64 页 6 (2)直线与平面平行直线与平面平行 判定定理判定定理:平面外的一条直线与平面外的一条直线与平面内的一条直线平行平面内的一条直线平行,则则 该直线就与此平面平行该直线就与此平面平行. 性质定理性质定理:一条直线和一个平面平行一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一则过这条直线的任一 平面与此平面的平面与此平面的交线交线也与该直线平行也与该直线平行. 共 64 页 7 3.平面与平面平行平面与平面平行 (1)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 平行平行两平面无公共点两平面无公共点 两平面相交两平面相交有一条公共直线有一条公共直线 (2)平面与平面的平行平面与平面的平行 判定定理判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则则 这两个平面平行这两个平面平行. 性质定理性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么那么 它们的交线它们的交线平行平行. 共 64 页 8 考点陪练考点陪练 共 64 页 9 1.设设AA是长方体的一条棱是长方体的一条棱,这个长方体中与这个长方体中与AA平行的棱共平行的棱共 有有( ) A.1条条 B.2条条 C.3条条 D.4条条 解析解析:AABBCCDD. 答案答案:C 共 64 页 10 2.b是平面是平面外一条直线外一条直线,下列条件中可得出下列条件中可得出b的是的是( ) A.b与与内一条直线不相交内一条直线不相交 B.b与与内两条直线不相交内两条直线不相交 C.b与与内无数条直线不相交内无数条直线不相交 D.b与与内任意一条直线不相交内任意一条直线不相交 解析解析:只有在只有在b与与内所有直线都不相交内所有直线都不相交,即即b与与无公共点无公共点 时时,b. 答案答案:D 共 64 页 11 3.在空间在空间,下列命题正确的是下列命题正确的是( ) A.若若a,ba,则则b B.若若a,b,a ,b ,则则 C.若若,b,则则b D.若若,a ,则则a 解析解析:若若a,ba,则则b或或b ,故故A错误错误;由面面平行的判由面面平行的判 定定理知定定理知,B错误错误;若若,b,则则b或或b ,故故C错误错误. 答案答案:D 共 64 页 12 4.已知两个不同的平面已知两个不同的平面 和两条不重合的直线和两条不重合的直线m n,有下列有下列 四个命题四个命题:若若mn,n ,则则m;若若m,n ,则则 mn;若若,m ,则则m. 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析解析:有可能有可能m ;m n还可能是异面直线还可能是异面直线;正确正确,故正故正 确答案是确答案是A. 答案答案:A 共 64 页 13 5.a,b,c为三条不重合的直线为三条不重合的直线,、为三个不重合的平面为三个不重合的平面, 现给出四个命题现给出四个命题: aca abab bcb cc a cac 其中正确的命题是其中正确的命题是_. 答案答案: 共 64 页 14 类型一类型一 直线与直线平行直线与直线平行 解题准备解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行 共 64 页 15 【典例典例1】 如图如图,若若=a,=b,=c,且且ab,求求 证证:abc. 分析分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证即可证 得得. 共 64 页 16 证明证明 ba,a ,b , b(线线平行线线平行,则线面平行则线面平行). b ,=c, bc(线面平行线面平行,则线线平行则线线平行), abc. 共 64 页 17 反思感悟反思感悟 (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条判定定理应用时要注意条件是平面外的一条 直线直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线 的平面与已知平面的交线的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结条件必须充分满足了才得结 论论.(2)本题证明思路是本题证明思路是:线线线线线线面面线线线线. 共 64 页 18 类型二类型二 直线和平面平行直线和平面平行 解题准备解题准备:1.证明线面平行的方法证明线面平行的方法 (1)依定义采用反证法依定义采用反证法; (2)判定定理法判定定理法(线线平行线线平行线面平行线面平行); (3)面面平行的性质定理面面平行的性质定理(面面平行面面平行线面平行线面平行). 共 64 页 19 2.应用线面平行判定定理的思路应用线面平行判定定理的思路 在应用线面平行的判定定理证明线面平行时在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找要在平面内找 (或作或作)一条直线与已知直线平行一条直线与已知直线平行,在找在找(或作或作)这一条直线时这一条直线时, 由线面平行的性质定理知由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直在平面内和已知直线共面的直 线才和已知直线平行线才和已知直线平行,所以要通过平面来找所以要通过平面来找(或作或作)这一条直这一条直 线线.在应用其它判定定理和性质定理时在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条要注意充分利用条 件构造定理的题设件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导在分析思路时也要以定理作为指导. 共 64 页 20 【典例典例2】 如图如图,正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,侧面对角线侧面对角线 AB1,BC1上分别有两点上分别有两点E,F且且B1E=C1F. 求证求证:EF平面平面ABCD. 共 64 页 21 分析分析 要证要证EF平面平面ABCD,方法有两种方法有两种:一是利用线面平行一是利用线面平行 的判定定理的判定定理,即在平面即在平面ABCD内确定内确定EF的平行线的平行线;二是利用二是利用 面面平行的性质定理面面平行的性质定理,即过即过EF作与平面作与平面ABCD平行的平面平行的平面. 共 64 页 22 证明证明 证法一证法一:过过E作作EMAB于于M,过过F作作FNBC于于N,连接连接 MN(如图如图).则则EMBB1,FNBB1,EMFN. 共 64 页 23 AB1=BC1,B1E=C1F, AE=BF, ,又又BB1=CC1, EM=FN, 四边形四边形EMNF是平行四边形是平行四边形,EFMN. 又又EF 平面平面ABCD,MN 平面平面ABCD, EF平面平面ABCD. 11111 , EMAEBFAEFN BBABBCABCC 11 EMFN BBCC 共 64 页 24 证法二证法二:连接连接B1F,并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点P,连接连接AP(如图如图). 共 64 页 25 BPB1C1, B1FC1PFB, AB1=BC1,B1E=C1F, AE=BF, EFAP. 又又EF 平面平面ABCD,AP 平面平面ABCD, EF平面平面ABCD. 11 . B FC F FPBF 11 . C FB E BFEA 11 , B EB F EAFP 共 64 页 26 证法三证法三:过点过点E作作EHBB1于点于点H,连接连接FH(如图如图). 共 64 页 27 则则EHAB,所以所以 AB1=BC1,B1E=C1F, ,FHB1C1. B1C1BC,FHBC. EHFH=H,平面平面EFH平面平面ABCD. EF 平面平面EFH,EF平面平面ABCD. 11 11 . B EB H B AB B 11 11 , B EC F B AC B 11 11 B HC F B BC B 共 64 页 28 反思感悟反思感悟 判断或证明线面平行的常用方法有判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义利用线面平行的定义(无公共点无公共点); (2)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理(a ,b ,aba); (3)利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理(,a a); (4)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(,a ,a ,aa). 共 64 页 29 类型三类型三 平面与平面平行的证明方法平面与平面平行的证明方法 解题准备解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外, 还有还有: (1)如果两个平面垂直于同一条直线如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行那么这两个平面平行. (2)如果两个平面和同一个平面平行如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行那么这两个平面平行. 共 64 页 30 2.平行问题的转化方向如图所示平行问题的转化方向如图所示: 共 64 页 31 注意注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线”两条相交直线” 中的“相交”两