一、若当块的初等因子,6 若当标准形的理论推导,二、若当形矩阵的初等因子,三、若当标准形存在定理,若当块,的初等因子是,一、若当块的初等因子,证：,此即 的 级行列式因子.,又 有一个 级子式是,所以 的 级行列式因子为1.,从而， 的 级行列式因子皆为1.,的不变因子是:,故 的初等因子是:,若当形矩阵,其中,则J 的全部初等因子是：,二、若当形矩阵的初等因子,证： 的初等因子是,与矩阵 等价.,于是,与矩阵,等价.,由定理9， 的全部初等因子是：,初等因子唯一确定.,完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划，,而这两个数都反应在它的初等因子 上.,可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它,的全部若当块的初等因子构成的.,由于每个若当块,因此，若当块被它的初等因子唯一决定.,从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的,（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵,相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是,被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.,三、若当标准形存在定理,1.,证：若n 级复矩阵A的全部初等因子为:,（*）,（其中 可能有相同的，指数,也可能相同的）.,每一个初等因子 对应于一个若当块,令,则 J 的初等因子也是（*），,故J 与A相似.,即J与A有相同的初等因子.,变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下,的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去,2. 定理10换成线性变换的语言即为,（定理11）设 是复数域上n维线性空间V的线性,若当块的排序外是被 唯一确定的.,的初等因子全是一次的.,3. 特殊情形,（定理12）复矩阵 A与对角矩阵相似,的不变因子没有重根.,（定理13）复矩阵 A与对角矩阵相似,4. n 阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个,不变因子 .,证：设A的若当标准形是,其中,由一知， 的最小多项式是,由不变因子与初等因子的关系知，,由7.9中引理3之推论知，,为A的最小多项式.,又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，,所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子,例1、求矩阵A的若当标准形.,解：,的初等因子为,故 A的若当标准形为,求A的若当标准形.,例2、已知12级矩阵A的不变因子为,个,解：依题意，A的初等因子为,的若当标准形为,练习： 求矩阵A的若当标准形,作业 P357: 6(3)(6)(9)(12)(14),