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第7课时 双曲线(一)1双曲线1(0m0)的离心率为2,则a()A2 B.C. D1答案D解析因为双曲线的方程为1,所以e214,因此a21,a1.选D.4(2017北京西城期末)mn0是方程1表示实轴在x轴上的双曲线的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当mn0时,分m0和m0,n0两种情况当m0时,方程1表示焦点在y轴上的双曲线;当m0,n0时,方程1表示焦点在x轴上的双曲线因此,当mn0,n0,必定有mn0.由此可得:mn0,b0)上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1PF2,且|PF1|2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()Ayx ByxCy2x Dy4x答案C解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a,又|PF1|2|PF2|,得|PF2|2a,|PF1|4a.在RtPF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|2,4c216a24a2,即c25a2,则b24a2,即b2a,则双曲线1的一条渐近线方程为y2x.故选C.7(2018安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为,且其顶点到其渐近线的距离为,则双曲线的方程为()A.1B.1C.1或1D.1或1答案D解析当焦点在x轴上时,设双曲线方程为1(a0,b0)双曲线的离心率为e,渐近线方程为yxx.由题意,顶点到渐近线的距离为,解得a2,b,双曲线的方程为1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为1(a0,b0)双曲线的离心率为e,渐近线方程为yxx,由题意可知:顶点到渐近线的距离为,解得a2,b,双曲线的方程为1.综上可知,双曲线的方程为1或1.故选D.8已知点F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是()A(1,) B(,2)C(1,) D(1,1)答案D解析依题意,0AF2F1,故0tanAF2F11,则1,即e2,e22e10,(e1)22,所以1e0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2ny21的离心率为()A. B.C. D.答案B解析由已知双曲线的离心率为2,得2.解得m3n.又m0,n0,mn,即.故由椭圆mx2ny21,得1.所求椭圆的离心率为e.10已知双曲线的方程为1(a0,b0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案B解析双曲线1的渐近线为0,焦点A(c,0)到直线bxay0的距离为c,则c2a2c2,得e2,e,故选B.11(2018成都市高三二诊)设双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切,则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.答案D解析如图,在圆O中,F1F2为直径,P是圆O上一点,所以PF1PF2,设以OF1为直径的圆的圆心为M,且圆M与直线PF2相切于点Q,则M(,0),MQPF2,所以PF1MQ,所以,即,可得|PF1|,所以|PF2|2a,又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,所以(2a)24c2,即7e26e90,解得e,e(舍去)故选D.12(2018贵阳市高三检测)双曲线1(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是()A(1,) B(,)C(1,) D(,)答案B解析依题意,注意到题中的双曲线1的渐近线方程为yx,且“右”区域是不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1,因此题中的双曲线的离心率e(,),选B.13已知曲线方程1,若方程表示双曲线,则的取值范围是_答案1解析方程1表示双曲线,(2)(1)0,解得1.14(2016北京)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(,0),则a_;b_答案12解析由题意知,渐近线方程为y2x,由双曲线的标准方程以及性质可知2,由c,c2a2b2,可得b2,a1.15(2015课标全国,文)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_答案y21解析方法一:因为双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,故点(4,)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0,b0),所以解得故双曲线方程为y21.方法二:因为双曲线的渐近线方程为yx,故可设双曲线为y2(0),又双曲线过点(4,),所以()2,所以1,故双曲线方程为y21.16(2018湖南长沙模拟)P是双曲线C:y21右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|PQ|的最小值为_答案21解析设右焦点为F2,|PF1|PF2|2,|PF1|PF2|2,|PF1|PQ|PF2|2|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在F2,Q之间时,|PF2|PQ|最小,且最小值为F2到l的距离由题意得l的方程为yx,F2(,0),F2到l的距离d1,|PQ|PF1|的最小值为21.17.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,F1PF2,且PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程答案1解析设双曲线的方程为1,F1(c,0),F2(c,0),P(x0,y0)在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|.即4c24a2|PF1|PF2|.又SPF1F22,|PF1|PF2|sin2.|PF1|PF2|8.4c24a28,即b22.又e2,a2.所求双曲线方程为1.18(2018上海崇明一模)已知点F1,F2为双曲线C:x21的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,MF1F230.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求的值答案(1)x21(2)解析(1)设F2,M的坐标分别为(,0),(,y0)(y00),因为点M在双曲线C上,所以1b21,则y0b2,所以|MF2|b2.在RtMF2F1中,MF1F230,|MF2|b2,所以|MF1|2b2.由双曲线的定义可知:|MF1|MF2|b22,故双曲线C的方程为x21.(2)由条件可知:两条渐近线分别为l1:xy0,l2:xy0.设双曲线C上的点P(x0,y0)两条渐近线的夹角为,由题意知cos.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|,|PP2|.因为P(x0,y0)在双曲线C:x21上,所以2x02y022.所以cos.1(2015广东,理)已知双曲线C:1的离心率e,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c5.因为离心率e,所以a4.又a2b2c2,所以b29.故双曲线C的方程为1.2若双曲线1的离心率为,则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx答案B解析由离心率为,可知ca,ba.渐近线方程为yxx,故选B.3(2015天津,文)已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析双曲线的一条渐近线方程为yx,即bxay0.由题意,得解得a21,b23,从而双曲线的方程为x21.4设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D3答案B解析由双曲线的定义,得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2,即4|PF1|PF2|9b24a2.又4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即940,则0,解得,则双曲线的离心率e.5(2015广东改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由曲线C的右焦点为F(3,0),知c3.由离心率e,知,则a2.故b2c2a2
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