专题04 直线与圆的方程一.专题辅导1.专题热点透析：直线与圆所涉及到的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系构成了解析几何问题的基础。纵观近近几年的高考数学试卷，本部分内容多以选择题或填空题的形式出现，分值在5-17分左右，难度不大，但每年必考，这部分主要考查直线的平行和垂直、圆的定义、性质和圆方程的求法、直线与圆的位置关系等综合性试题，其中直线与圆相切有关的问题是热点。同时直线与圆相交求弦长、点到直线的距离等也是重点。从近几年的全国高考新课程高考试题分析研究来看，可以预测今后涉及本单元知识点的题目，仍会以基本题型为主，侧重于考查对基础知识的掌握、基本数学思想方法的灵活运用，一般难度不会太大另一方面，本单元与其他章节的知识点综合题仍将是今后的热点、重点、难点，也可能会出现探索开放、新颖别致的实际应用题目，特别应注意与不等式、平面向量知识、导数等新知识综合题目可能会出现在今后高考题中2.热点题型分类精讲：1.直线的倾斜角斜率问题例1.直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0，（，）【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围【答案】B【点评】：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题解决本题注意倾斜角的范围是。2.直线的平行与垂直问题例2.已知点A（a，a）（a0），B（1，0），O为坐标原点若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（）A B C D【分析】设C（x，y），利用点C在直线OA上，且BC与OA垂直得到关于x，y的方程组解之【答案】D【解析】设C（x，y），因为点C在直线OA上，且BC与OA垂直，所以，解得；故选：D点评：本题考查了直线的斜率以及垂直直线的斜率关系；属于基础题3.直线方程的求解与计算例3.过点P（2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）A3条 B2条 C1条 D0条【分析】解决本题思路是设直线l的方程，结合直线过点P（2，2）且在第二象限内围成的三角形面积为8，构造方程组，解得直线方程，可得答案 【点评】：本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题由于本题是求解围成面积问题，所以设截距式计算比较简单。4.参数范围的求解与计算例4.已知点A在直线x+2y1=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x0，y0），且满足y0x0+2，则的取值范围为（）A BC D【分析】本题的解题关键是求出AB中点的直线方程，再根据不等式得到P点横坐标的范围，再解不等式即可。【答案】A【点评】：本题考查了平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.圆的方程计算与求解例5过三点A（1，3），B（4，2），C（1，7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A2 B8 C4 D10【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，D=2，E=4，F=20，x2+y22x+4y20=0，令x=0，可得y2+4y20=0，y=22，|MN|=4故选：C【点评】：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键求解圆的方程既可以利用待定系数法也可以使用圆的一些性质进行求解。6.直线与圆的相切、相交问题例6. 一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或【分析】点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出【点评】：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题 例7. 已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A2B4C6D8【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值【解析】圆x2+y2+2x2y+a=0 即 （x+1）2+（y1）2=2a，故弦心距d=再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：B【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题7.直线与圆的最值问题例8圆心在曲线（x0）上，且与直线3x4y+3=0相切的面积最小的圆的方程是【分析】设曲线上一点坐标，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值，以及此时a的值，确定出面积最小时圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可【答案】（x2）2+（y+）2=9。点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键例9在圆C：（x2）2+（y2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为_-。【分析】由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【解析】圆的标准方程为（x2）2+（y2）2=8，由题意得最长的弦|AB|=4，圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d=，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2，且ABDE，四边形ABCD的面积S=|AB|DE|=42=4，故答案为：4【点评】：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题 专题专项训练题（1）一选择题1圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A BC D【答案】.D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为.2 若直线：被圆C：截得的弦最短，则k=（ ）。A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】.A【解析】易知直线恒过定点A（0,1），要使截得的弦最短，需圆心（1,0）和A点的连线与直线垂直，所以。3. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B C. D. 【答案】A4 设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A.4 B. C.8 D. 【答案】C【解析】两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，a=5+2，或 a=52，故圆心为（5+2，5+2 ） 和 （52，52 ），故两圆心的距离|C1C2|=，故选C5.已知圆C：x2+y24x4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（） A B C D 【答案】.C【解析】当y=0时，得x24x=0，解得x=0或x=4，则AB=40=4，半径R=2，CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，ACB是直角三角形，ACB=90，即弦AB所对的圆心角的大小为90，故选：C6 设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y22x2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时P=（）A. 60 B. 45 C. 30 D. 120【答案】A，CPA=30，所以P=60故选A7. 若圆C：关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A. 2 B.3 C.4 D.6【答案】.C【解析】圆C：化为（x+1）+（y2）=2，圆的圆心坐标为（1，2）半径为圆C：关于直线2ax+by+6=0对称，所以（1，2）在直线上，可得2a+2b+6=0，即a=b+3点（a，b）与圆心的距离，所以点（a，b）向圆C所作切线长：=，当且仅当b=1时弦长最小，为4故选C二填空题8. 设直线mxy30与圆相交于A、B两点，且弦长为2，则m_.【答案】0【解析】 圆的半径为2，弦长为2，所以弦心距为1，即得，解得m0.9.直线被圆截得的弦长为 【答案】.【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长。 10. 直线l过点（1，1），且与圆（x2）2+（y2）2=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为【答案】 x+y2=0三解答题11. 已知圆心为（1，1）的圆C经过点M（1，2）（）求圆C的方程；（）若直线x+y+m=0与圆C交于A、B两点，且ABC是直角三角形，求实数m【解析】（）由已知，圆的半径r=|CM|=1，所以圆C的方程为（x1）2+（y1）2=1（）由题意可知，|CA|=|CB|=1，且ACB=90，圆心C到直线x+y+m=0的距离为，即=，解得m=1或m=312 已知圆C经过A（5，2），B，且圆心C在直线x=3上（1）求圆C的方程；（2）求过D（0，1）点且与圆C相切的两条切线方程13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，1），（3+，0），（3，0）（）求圆C的方程；（）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OAOB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由【解析】（）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把点（0，1），（3+，0），（3， 0）分别代入，得：， 14. 如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的东北方向处，B岛在O岛的正东方向10km处（1）以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，试写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；（2）已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30方向距O岛20km处，正沿东北方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【解析】（1）如图所示：A在O的东北方向，B在O的正东方向10km，由11