空间向量的坐标表示,空间向量的基本定理,复习回顾,如果三个向量 不共面,那么空间的每一个向量都可由向量 线性表示.把 称为空间的一个基底,基底:,基向量:,如果空间一个基底的三个向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.,正交基底:,单位正交基底:,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底.,通常用 表示,设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组( x，y，z)，使,推论：,向量的直角坐标,建构数学,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A (x,y,z) ，对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使 OA=xi+yj+zk,向量的直角坐标,建构数学,向量的直角坐标运算.,设,则,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。,例1、已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b，a-b，3a.,数学运用,解：,a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4),=(1+3,-3+10,8-4),=(4,7,4),a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4),=(1-3,-3-10,8+4),=(-2,-13,12),3a=3(1,-3,8),=(31, -33, 38),=(3, -9, 24),例2、已知空间四点A(-2,3, 1)B(2,-5,3) C(10,0,10)和D（8，4，9），求证： 四边形ABCD是梯形。,数学运用,数学运用,数学运用,