13.5 复 数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.复数的有关概念,知识梳理,(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 .(i为虚数单位) (2)分类：,实部,虚部,b0,b0,a0且b0,(3)复数相等：abicdi (a，b，c，dR). (4)共轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR). (5)模：向量 的模叫做复数zabi的模，记作 或 ，即|z|abi|_(a，bR).,ac且bd,ac，bd,|abi|,|z|,2.复数的几何意义,复数zabi与复平面内的点 及平面向量 (a，b)(a，bR)是一一对应关系.,Z(a，b),3.复数的运算,(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR,(ac)+(b d)i,(ac-bd)+(bc ad)i,(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 .,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解.( ) (2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ),考点自测,1.(2016全国乙卷改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_.,答案,解析,(12i)(ai)a2(2a1)i，,a22a1，解得a3.,3,2.(2016泰州模拟)已知复数z满足(3i)z10i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是_.,答案,解析,13i,3.(2016南京一模)设i是虚数单位，若zcos isin ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则位于第_象限.,zcos isin 对应的点的坐标为(cos ，sin )，且点(cos ，sin )位于第二象限，,答案,解析,二,答案,解析,原式i3i4i1i2i3i4i1.,4.i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.,1,答案,解析,34i,题型分类 深度剖析,题型一 复数的概念,例1 (1)(2016无锡模拟)若复数z(1i)(m2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为_.,zmmi2i2(m2)(2m)i. z为纯虚数，m2.,答案,解析,2,(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的_条件.,所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件.,答案,解析,充分不必要,(3)(2016天津)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_.,1,答案,解析,引申探究 将本例(3)中的条件“(1i)z2”改为“(1i)3z2”，求z的实部.,解答,解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.,思维升华,跟踪训练1 (1)(2016镇江模拟)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为_.,答案,解析,(2)(2016苏北四市调研二)已知复数z满足z24，若z的虚部大于0，则z_.,答案,解析,2i,设zabi(a，bR，b0)， 则z2a2b22abi4， 因此a0，b24，b2， 又b0，b2，z2i.,题型二 复数的运算,命题点1 复数的乘法运算 例2 (1)(2016四川改编)设i为虚数单位，则复数(1i)2_.,答案,解析,(1i)212i22i112i2i.,2i,(2)(2016全国乙卷改编)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_.,答案,解析,(3)(2015课标全国改编)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a_.,答案,解析,因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i， 得4a0且a244，解得a0.,0,命题点2 复数的除法运算 例3 (1)(2016全国丙卷改编)若z12i，则 _.,答案,解析,i,(2)(2016北京改编)复数 _.,答案,解析,i,1i,答案,解析,命题点3 复数的综合运算 例4 (1)(2016山东改编)若复数z满足2z 32i，其中i为虚数单位，则z_.,答案,解析,设zabi(a，bR)，,12i,答案,解析,复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答.,思维升华,(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答. (5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.,跟踪训练2 (1)(2016常州模拟)若i为虚数单位，复数z12i，则 _.,答案,解析,因为z12i，所以z2(12i)234i，,i,答案,解析,答案,解析,题型三 复数的几何意义,例5 (1)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的_.,答案,解析,由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心.,外心,(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i， 24i，试求：,解答,(32i)(24i)52i.,解答,解答,B点对应的复数.,即B点对应的复数为16i.,因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.,思维升华,跟踪训练3 已知z是复数，z2i， 均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.,解答,设zxyi(x，yR)，,z2ix(y2)i，由题意得y2.,由题意得x4，z42i.,(zai)2(124aa2)8(a2)i，,解得2a6，,实数a的取值范围是(2,6).,典例 (14分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.,解决复数问题的实数化思想,思想与方法系列26,规范解答,(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法. (3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.,思想方法指导,解 设xabi (a，bR)，,则yabi，xy2a，xya2b2， 3分,代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i， 5分,课时作业,1.(2016南通模拟)已知a0，b0，且(1ai)(bi)5i(i是虚数单位)，则ab_.,答案,解析,由题意得(1ai)(bi)(ba)(1ab)i5i，,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.(2016苏北联考)如果复数1，ai,3a2i(aR)成等比数列，那么a的值为_.,答案,解析,2,由题意知，(ai)21(3a2i)， 即a212ai3a2i，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,由题图知复数z3i，,H,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2z2i2，z1i.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.(2016新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,化简得44cos23sin ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_.,由于复数z的实部为a，虚部为1，且0a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,点(a，b)在圆x2y22外.,答案,解析,点在圆外,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.,z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，,故3m20且m10，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_.,答案,解析,3或6,MN3，3M且1M，,m1,3(m25m6)i3或m3，,m25m60且m1或m3，,解得m6或m3，经检验符合题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2y23.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2,3,由根与系数的关系知，,b2，c3.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.给出下列命题： 若zC，则z20； 若a，bR，且ab，则aibi； 若aR，则(a1)i是纯虚数； 若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限. 其中正确的命题是_.(填上所有正确命题的序号),答案,解