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资源描述
1 奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式 1、 1001abcabcabc= 2、 10101abababab= 3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 ba 1 形式的,这里我们把较小的 数写在前面,即 ab,那么有: ) 11 ( 11 baabba = = 4、对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: + + = + + + = +)2() 1( 1 ) 1( 1 2 1 )2() 1( 1 nnnnnnn + + = + + + = +)3()2() 1( 1 )2() 1( 1 3 1 )3()2() 1( 1 nnnnnnnnnn 5 5、 abba b ba a ba ba11 += + = + += + = + 6 6、 a b b a ba b ba a ba ba += + = + += + = + 2222 7、) 1() 1( 3 1 ) 1(433221+=+=+nnnnn 8、 ) 1() 1)(2( 4 1 ) 1()2( 543432321+=+=+nnnnnnn 9、 ) 1() 1( 3 1 )2)(1( 3 1 ) 1(+=+=+nnnnnnnn 10、 )2)(1() 1( 4 1 )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(+=+=+nnnnnnnnnnn 11、 !)!1(!nnnn+=+= 2 1 12 2. .求和:求和: 1) 1( 1 54 1 43 1 32 1 21 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证: 11 1 1) 1 11 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( + = + = + += + = + = + += n n nnn Sn 1313. .求和:求和: 12) 12)(12( 1 97 1 75 1 53 1 31 1 + = + + + + + = + = + + + + + = n n nn Sn 证: 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + = + = + += n n nnn Sn 1414. .求和:求和: 13) 13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 + = + + + + = + = + + + + = n n nn Sn 证:) 13 1 23 1 ( 3 1 ) 10 1 7 1 ( 3 1 ) 7 1 4 1 ( 3 1 ) 4 1 1 ( 3 1 + += nn Sn 13 ) 13 1 1 ( 3 1 + = + = n n n 1515. .求和:求和:) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 )2( 1 64 1 53 1 42 1 31 1 + + += + + + + + = + + += + + + + + = nnnn Sn 证:) 1 1 1 1 ( 2 1 ) 6 1 4 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 + += nn Sn ) 2 1 1 1 2 1 1 ( 3 1 ) 2 11 ( 2 1 + + += + + nnnn 16.求和: + = + + + + = + = + + + + = )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nnnnn Sn 3 证:因为 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 + + = +nnnnnnn , )2)(1( 1 2 1 2 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 ) 43 1 32 1 ( 2 1 ) 32 1 21 1 ( 2 1 + = + + + + = nn nnnn Sn 17、 2 ) 1( 321 + =+ + =+ nn n 1818、 2 12311321nnnn=+)()( 1919、 2 127531nn=+=+)( 2020、 6 ) 12)(1( 21 222 + =+ + =+ nnn n 2121、 3 ) 14( 3 ) 12)(12( 12531 2 2222 = + =+ = + =+ nnnnn n)( 2222、() () 4 1 2121 2 2 2 333 + =+=+ nn nn 2323、 )( 22 bababa+= 2424、 222 2)(bababa+= 【典型例题】【典型例题】 例 1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995 + + + + + + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解分析与解答:答: 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 = = = = 4 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 = = 上面 12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0,这 一来问题解起来就十分方便了。 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19951996 1 19961997 1 1997 + + + + + =+ += 1 1985 1 1986 1 1986 1 1987 1 1987 1 1988 1 1995 1 1996 1 1996 1 1997 1 1997 1 1985 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分 分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例 2. 计算: 1 1 1 12 1 123 1 123100 + + + + + + 公式的变式 1 12 2 1+ = nnn() 当n分别取 1,2,3,100 时,就有 1 1 2 12 1 12 2 23 1 123 2 34 1 1234 2 45 1 12100 2 100101 = + = + = + = + = 5 1 1 1 12 1 123 1 12100 2 12 2 23 2 34 2 99100 2 100101 2 1 12 1 23 1 34 1 99100 1 100101 21 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 21 1 101 + + + + + + = + + + + = + + + + =+ = () () () = = = 2 100 101 200 101 1 99 101 例 3. 设符号( )、代表不同的自然数,问算式 1 6 11 =+ () 就变成 1 6 11 = 0,则xnt=+,代 入上式得 t n nty()+ = 1 ,即y n t n=+ 2 。 又因为y是自然数,所以t一定能整除n2,即t是n2的约数,有n个t就有n个y, 这 一 来 我 们 便 得 到 一 个 比 11 1 1 1nnn n + = +() 更 广 泛 的 等 式 , 即 当xnt=+, y n t n=+ 2 ,t是n2的约数时,一定有 111 nxy =+,即 11 nnt t n nt + = +() 6 上面指出当xnt=+,y n t n=+ 2 ,t是n2的约数时,一定有 111 nxy =+,这里 nn=636 2 ,,36 共有 1,2,3,4,6,9,12,18,36 九个约数。 当t = 1时,x = 7,y = 42 当t = 2时,x = 8,y = 24 当t = 3时,x = 9,y = 18 当t = 4时,x = 10,y = 15 当t = 6时,x = 12,y = 10 当t = 9时,x = 15,y = 10 当t = 12时,x = 18,y = 9 当t = 18时,x = 24,y = 8 当t = 36时,x = 42,y = 7 故( )和所代表的两数和分别为 49,32,27,25。 【模拟试题】【模拟试题】(答题时间:20 分钟) 二.尝试体验: 1. 计算: 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + 2. 计算: 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 3. 已知xy、是互不相等的自然数,当 1 18 11 =+ xy 时,求xy+。 【试题答案】【试题答案】 1. 计算: 1 12 1 23 1 34 1 9899 1 99100 + + + + =+ = = 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 98 1 99 1 99 1 100 1 1 100 99 100 2. 计算: 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 1 66 1 78 1 91 1 105 1 120 + 7 =+ = + + + + + + + + + + + + + = = = 2 6 2 12 2 20 2 30 2 42 2 56 2 72 2 90 2 110 2 132 2 156 2 182 2 210 2 240 2 1 23 1 34 1 45 1 56 1 67 1 78 1 89 1 910 1 1011 1 11 12 1 1213 1 1314 1 1415 1 1516 2 1 2 1 1
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